モンテカルロPi推定の誤解

私はモンテカルロ積分がどのように機能するかを理解していると確信していますが、それがPiを推定するためにどのように使用されるかの定式化を理解していません。このプレゼンテーションの5番目のスライドhttp://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdfで説明されている手順に従います。

準備手順を理解しました。Piは、単位円の4分の1の面積の4倍に相当します。また、（0,0）を中心とする単位円の右上4分の1の領域は、およびにおける単位円の右上4分の1である曲線の積分に相当し。 $0<x<1$ $0<y<1$

私が理解していないのは、この積分がいかにであるかです

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

ここで、一様に四分円の周り単位正方形に分布している（すなわち、それは常に1に等しい場合におよび、さもなければ0）。このように意味しているにおける単位円の右上象限である関数でと $P(x,y)$ $0<x<1$ $0<y<1$ $I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
$0<x<1$ が、インジケーター関数は1または0しか指定できないため、これがどのように当てはまるかわかりません。おそらく、モンテカルロサンプリングを簡単にするためにこのように記述されていることを理解しています（つまり、これは期待値なので、単なるサンプルです。に適用され、サンプルの平均値を取得する）が、その積分はその曲線下面積を表し、なぜそれだけで私には直感的な意味がありません。 $0<y<1$ $P(x,y)$ $I((x^2+y^2)<1)$

誰かがこれについて直感的な説明を提供できますか？多分その積分が段階的に導出された方法を示していますか？

編集：

期待を地域に関連付けることで、理解を深めることができました。誰かを助けるためにここでそれを説明します。最初にPiを単位円の右上の象限の領域に関連付けることから始めます。

$\pi=4\times A_{tr}$

次に、右上の象限を単位正方形に配置します。そして、単位正方形上の均一分布の下では、円象限の面積は、そこからサンプルを取得する確率に比例します。したがって、次の等式が成り立つ

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

$A_{square}=1$

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

そして元の方程式に代入

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

$P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$

そのため、面積を確率に関連付け、次にその確率を積分と同等の期待値に関連付けることで、それを理解しました。私が何か間違いをしたかどうか知らせてください。

monte-carlo indicator-function

— ユーザー1893354
ソース

回答:

$l$ $\pi l^2$ $l^2\pi/4$ $area=l^2$

$\pi/4$

$(x,y)$ $0<x<1, 0<y<1$ $0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$

$∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$

ここに画像の説明を入力してください

— ドンボ
ソース

積分内の項と曲線自体の間の関係を描くのに苦労しているだけだと思います。xとyの異なる値に対してI（x ^ 2 + y ^ 2 <1）I（0 <x <1）（0 <y <1）をプロットした場合、曲線は得られません。何故ですか？

— user1893354

{(x, y) : (x^{2} + y^{2} < 1), (0 < x < 1), (0 < y < 1)}

$\left\lbrace (x,y):(x^2+y^2<1), (0<x<1), (0<y<1) \right\rbrace$

私はそれに同意します。（。）あなたは、私がインジケータ機能を適用する場合でも、それらはすべて1または0のいずれかにプッシュされます

— user1893354

どういう意味ですか？

— Donbeo 2014年

\int_{q u a r t e r o f c i r c l e} = \int 1 (x^{2} + y^{2} < 1) * 1 (0 < x < 1) * 1 (0 < y < 1)

$\int_{quarter~ of~ circle} = \int 1(x^2+y^2<1)*1(0<x<1)*1(0<y<1)$

$E(I(A)) = P(A)$ $\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$ $x$ $y$ $x^2 + y^2 <1$

$(x,y)$ $A$ $A$

— jsk
ソース

これも私が理解している方法です。しかし、式Pi = 4x（1/4円の面積）に接続するのに問題があります。面積とサンプルを比較することは、直感的には意味がありません。この関係は、均一な分布の下では、サンプル数は面積に比例すると考えています。

— user1893354

@ user1893354回答が修正されました。それがあなたの直感に役立つかどうか教えてください。

— jsk 2014年

$\pi$ $[0,1]$

$\pi/4$ $(x,y)$ $1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$ $∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

10,000ドローの半径内にある値をプロットできます。

そして、当然ながら、より多くのポイントを選択することで、ますます近づくことができます。100万ポイントで次のようになります。

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

非常に近似した結果。これがプロットです：

— アントニ・パレッラダ
ソース