2 ^ sqrt（n）の時間計算量

私はアルゴリズムの質問を解決していますが、私の分析では、O（2 ^ sqrt（n））で実行されます。どれくらい大きいの？O（2 ^ n）と同等ですか？まだ非多項式時間ですか？

これは興味深い質問です。幸いなことに、それを解決する方法がわかれば、それほど難しくありません。

機能のためにF：N → R ⁺およびG：N → R ⁺、我々は、F ∈ O（G）場合にのみLIM SUP場合_{、N →∞} F（N）/ G（N）∈ R。

関数F：N → R ^+があれば、ほとんどの多項式成長であり、定数が存在する場合にのみ、kは ∈ Nように、F ∈ O（N ↦ N ^K）。レッツ・仕事任意であるが固定のため、このうちのk ∈ N。

LIM SUP _{N →∞} 2 ^{（N 1/2）} / N ^K =
LIM _{N →∞} 2 ^{（N 1/2）} / N ^K =
LIM _{N →∞} Eの^{ログ（2）N 1/2} / Eの^{ログ（N）K} =
LIM _{N →∞} Eの^{ログ（2）のn 1/2 -ログ（N）K} =∞∉ R

分母と分母の両方が単調に成長する定常関数であるため、最初の等式は真です。2番目の等式は、アイデンティティx ^y = e ^{log（x）yを使用し}ます。最終式の指数が上に制限されていないため、制限は有限ではありません。正式な証明を与えることなく、n ^1/2が漸近的にlog（n）を支配していることがわかっていると仮定することができます。したがって、問題の関数は多項式成長を超えています。

しかし、その成長は、（この目的のために、私が）厳密に小さい指数関数が定義されている場合、指数よりれているようにO（N ↦2 ^CのNの場合）、C >これを表示0であっても、より簡単です。

LIM SUP _{N →∞} 2 ^{、C N} / 2 ^{（N 1/2）} = LIM _{N →∞} 2 ^{C N - N 1/2} =∞∉ R

固定c > 0の場合。したがって、関数の複雑さは、多項式と指数の中間にあります。

どれくらい大きいの？さて、O（2 ^ sqrt（n））はまさにその大きさです:-(

意味を理解するために、アルゴリズムが単なるO（2 ^ sqrt（n））ではなく、実際にコンピューター上で正確に2 ^ sqrt（n）ナノ秒かかると想像してください。

n = 100：2 ^ 10 = 1024ナノ秒。まったく時間がありません。n = 1000：2 ^ 31.xxx = 20億ナノ秒。2秒、それは顕著です。n = 10,000：2 ^ 100≈10 ^ 30ナノ秒= 10 ^ 21秒= 30兆年

これは、n = 100で30兆年かかる2 ^ nナノ秒よりもはるかに優れていますが、解決できる問題のサイズは非常に限られています。コンピュータが1週間で問題を解決できる場合、その問題を「解決可能」と考えると、それは約6 x 10 ^ 14ナノ秒、つまり約n = 2,400です。一方、ミリ秒で最大n = 400まで解くことができます。

（実際には、n = 10,000の場合、O（2 ^ sqrt（n））とO（2 ^ n）の両方にまったく同じ時間がかかります。それを待つには長すぎます。）

多項式を超えています。n ^ 1000秒かかる別のアルゴリズムを使用します。これは、n = 2の場合、実際には解決できません。このアルゴリズムは、nが約8億8,500万になるまで時間がかかります。しかし、本当に、誰が気にしますか？その時点で、両方のアルゴリズムにかかる年数は9,000桁です。