Haskellファンクターのターゲットカテゴリーに派生型のみがあるのはなぜですか？

Haskellでは、Functorタイプクラスファンクターは次のように定義されます（Haskell wikiなどを参照）。

class Functor (f :: * -> *) where
  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b 

これまで（私が間違っているなら、私を修正してください）私は理解したように、このようなファンクタは唯一のカテゴリは型コンストラクタを使用して構築され、例えば、対象カテゴリとして持つことができるよう[]、Maybe一方、など、1は任意のカテゴリを持つファンクタを考えることファンクターのターゲットとして、すべてのHaskellタイプのカテゴリーなど。たとえば、またはIntだけでなく、ファンクターのターゲットカテゴリのオブジェクトになります。Maybe Int[Int]

Haskellファンクターに対するこの制限の動機は何ですか？

制限はありません！型コンストラクタのカテゴリ理論の基礎を学び始めたとき、この点も私を混乱させました。それに行きます。しかし、最初に、混乱を解消させてください。これらの2つの引用符：

そのようなファンクターは、タイプコンストラクターを使用して構築されたカテゴリをターゲットカテゴリとしてのみ持つことができます

そして

ファンクターは、すべてのHaskellタイプのカテゴリーなど、任意のカテゴリーをファンクターのターゲットとして考えることができます。

ファンクタとは何かを誤解していることを示します（少なくとも、用語を誤用している）。

ファンクターはカテゴリーを構築しません。ファンクターは、カテゴリー間のマッピングです。ファンクターは、ソースカテゴリのオブジェクトと射（型と関数）をターゲットカテゴリのオブジェクトと射にもたらします。

これは、ファンクターが実際にはマッピングのペアであることに注意してください：オブジェクトF_objのマッピングと射F_morphのマッピング。Haskellでは、ファンクターのオブジェクト部分F_objは型コンストラクターの名前（例：）でListあり、モーフィズム部分は関数ですfmap（fmap指定された式で参照しているものを選別するのはHaskellコンパイラ次第です）。したがって、それがListファンクターであると言うことはできません。のみの組み合わせListとfmapファンクタです。それでも、人々は表記法を乱用しています。プログラマーListはファンクターを呼び出しますが、カテゴリー理論家はファンクターの両方の部分を参照するために同じ記号を使用します。

さらに、プログラミングでは、ほぼすべてのファンクターがエンドファンクターです。つまり、ソースとターゲットのカテゴリーは同じです。つまり、言語のすべてのタイプのカテゴリーです。このカテゴリをTypeと呼びましょう。タイプの内積関数Fは、タイプTを別のタイプFTにマップし、関数T-> Sを別の関数FT-> FSにマップします。もちろん、このマッピングはファンクターの法則に従う必要があります。

List例として使用すると、一緒にファンクターを形成する型コンストラクターList : Type -> Typeと関数がfmap: (a -> b) -> (List a -> List b)あります。T

解決すべき最後のポイントが1つあります。書き込みList intは、整数のリストの新しいタイプを作成しません。このタイプはすでに存在していました。これは、カテゴリTypeのオブジェクトでした。List Int単にそれを参照する方法です。

さて、なぜファンクターは型を、たとえば、Intまたはにマッピングできないのか疑問に思っていますString。しかし、できます！アイデンティティファンクタを使用する必要があります。任意のカテゴリCに対して、アイデンティティファンクターはすべてのオブジェクトをそれ自体に、射を自身にマッピングします。このマッピングがファンクターの法則を満たしていることを検証するのは簡単です。Haskellでは、これはid : * -> *すべてのタイプをそれ自体にマップするタイプコンストラクターになります。たとえば、とid int評価されintます。

さらに、すべての型を単一の型にマップする定数ファンクターを作成することもできます。たとえば、functor ToInt : * -> *、ここToInt a = intですべての型a、およびすべての射を整数恒等関数にマッピングします： fmap f = \x -> x