並べ替えられていない配列の範囲から最大値を取得しています

私が持っている未ソート配列を。範囲を指定し、その範囲の最大値を返さなければならないクエリがあります。例えば：

array[]={23,17,9,45,78,2,4,6,90,1};
query(both inclusive): 2 6
answer: 78

任意の範囲から最大値をすばやく取得するために構築するアルゴリズムまたはデータ構造。（クエリがたくさんあります）

編集： これは確かに実際の問題の単純なバージョンです。配列のサイズは100000まで、クエリの数は100000までにすることができます。そのため、高速なクエリ応答を促進する前処理が必要です。

各ノードがその子の最大値を表す、ある種のバイナリツリーを構築できると思います。

            78           
     45            78     
  23    45     78      6  
23 17  9 45   78 2    4 6   

次に、照会する範囲の最大値を見つけるために最低限チェックする必要があるノードを決定する方法を見つけるだけで済みます。この例では、インデックス範囲の最大値[2, 6]（両端を含む）を取得するには、max(45, 78, 4)ではなくを使用しmax(9, 45, 78, 2, 4)ます。木が成長するにつれて、ゲインは大きくなります。

ngoaho91の答えを補足するため。

この問題を解決する最良の方法は、セグメントツリーデータ構造を使用することです。これにより、このようなクエリにO（log（n））で応答できます。つまり、アルゴリズムの全体的な複雑度はO（Q logn）となり、Qはクエリの数になります。単純なアルゴリズムを使用した場合、全体の複雑さはO（Q n）になり、明らかに遅くなります。

ただし、セグメントツリーの使用には欠点があります。それは多くのメモリを消費しますが、多くの場合、速度よりもメモリを気にしません。

このDSで使用されるアルゴリズムについて簡単に説明します。

セグメントツリーは、バイナリ検索ツリーの特殊なケースにすぎません。すべてのノードは、割り当てられた範囲の値を保持しています。ルートノードには、範囲[0、n]が割り当てられます。左の子には範囲[0、（0 + n）/ 2]が割り当てられ、右の子には[（0 + n）/ 2 + 1、n]が割り当てられます。この方法でツリーが構築されます。

ツリーを作成：

/*
    A[] -> array of original values
    tree[] -> Segment Tree Data Structure.
    node -> the node we are actually in: remember left child is 2*node, right child is 2*node+1
    a, b -> The limits of the actual array. This is used because we are dealing
                with a recursive function.
*/

int tree[SIZE];

void build_tree(vector<int> A, int node, int a, int b) {
    if (a == b) { // We get to a simple element
        tree[node] = A[a]; // This node stores the only value
    }
    else {
        int leftChild, rightChild, middle;
        leftChild = 2*node;
        rightChild = 2*node+1; // Or leftChild+1
        middle = (a+b) / 2;
        build_tree(A, leftChild, a, middle); // Recursively build the tree in the left child
        build_tree(A, rightChild, middle+1, b); // Recursively build the tree in the right child

        tree[node] = max(tree[leftChild], tree[rightChild]); // The Value of the actual node, 
                                                            //is the max of both of the children.
    }
}

クエリツリー

int query(int node, int a, int b, int p, int q) {
    if (b < p || a > q) // The actual range is outside this range
        return -INF; // Return a negative big number. Can you figure out why?
    else if (p >= a && b >= q) // Query inside the range
        return tree[node];
    int l, r, m;
    l = 2*node;
    r = l+1;
    m = (a+b) / 2;
    return max(query(l, a, m, p, q), query(r, m+1, b, p, q)); // Return the max of querying both children.
}

さらに詳しい説明が必要な場合は、お知らせください。

ところで、セグメントツリーは、O（log n）内の単一の要素または要素の範囲の更新もサポートしています

最良のアルゴリズムは、以下のようにO（n）時間です。開始、終了を範囲の境界のインデックスとします。

int findMax(int[] a, start, end) {
   max = Integer.MIN; // initialize to minimum Integer

   for(int i=start; i <= end; i++) 
      if ( a[i] > max )
         max = a[i];

   return max; 
}

バイナリツリー/セグメントツリーベースのソリューションは、確かに正しい方向を指しています。ただし、多くの追加メモリが必要であることに反対する人もいます。これらの問題には2つの解決策があります。

1. バイナリツリーの代わりに暗黙的なデータ構造を使用する
2. バイナリツリーの代わりにM-aryツリーを使用する

最初のポイントは、ツリーは高度に構造化されているため、ノード、左と右のポインター、間隔などでツリーを表すのではなく、ヒープのような構造を使用してツリーを暗黙的に定義できるということです。パフォーマンスへの影響はありません。もう少しポインター演算を実行する必要があります。

2番目のポイントは、評価中の作業が少し増える代わりに、バイナリツリーではなくM-aryツリーを使用できることです。たとえば、3進ツリーを使用する場合、一度に最大3つの要素を計算し、次に一度に9つの要素、次に27などを計算します。必要な追加のストレージはN /（M-1）です。幾何級数公式を使用して証明します。たとえば、M = 11を選択した場合、バイナリツリー法のストレージの1/10が必要になります。

これらの単純で最適化されたPythonの実装が同じ結果をもたらすことを確認できます。

class RangeQuerier(object):
    #The naive way
    def __init__(self):
        pass

    def set_array(self,arr):
        #Set, and preprocess
        self.arr = arr

    def query(self,l,r):
        try:
            return max(self.arr[l:r])
        except ValueError:
            return None

対

class RangeQuerierMultiLevel(object):
    def __init__(self):
        self.arrs = []
        self.sub_factor = 3
        self.len_ = 0

    def set_array(self,arr):
        #Set, and preprocess
        tgt = arr
        self.len_ = len(tgt)
        self.arrs.append(arr)
        while len(tgt) > 1:
            tgt = self.maxify_one_array(tgt)
            self.arrs.append(tgt)

    def maxify_one_array(self,arr):
        sub_arr = []
        themax = float('-inf')
        for i,el in enumerate(arr):
            themax = max(el,themax)
            if i % self.sub_factor == self.sub_factor - 1:
                sub_arr.append(themax)
                themax = float('-inf')
        return sub_arr

    def query(self,l,r,level=None):
        if level is None:
            level = len(self.arrs)-1

        if r <= l:
            return None

        int_size = self.sub_factor ** level 

        lhs,mid,rhs = (float('-inf'),float('-inf'),float('-inf'))

        #Check if there's an imperfect match on the left hand side
        if l % int_size != 0:
            lnew = int(ceil(l/float(int_size)))*int_size
            lhs = self.query(l,min(lnew,r),level-1)
            l = lnew
        #Check if there's an imperfect match on the right hand side
        if r % int_size != 0:
            rnew = int(floor(r/float(int_size)))*int_size
            rhs = self.query(max(rnew,l),r,level-1)
            r = rnew

        if r > l:
            #Handle the middle elements
            mid = max(self.arrs[level][l/int_size:r/int_size])
        return max(max(lhs,mid),rhs)

「セグメントツリー」データ構造を試す
2つのステップがある
build_tree（）O（n）
query（int min、int max）O（nlogn）

http://en.wikipedia.org/wiki/Segment_tree

編集：

あなたたちは私が送ったウィキを読んでいないだけです！

このアルゴリズムは次のとおり
です。-アレイを1回トラバースしてツリーを構築します。O（n）
-配列の任意の部分の最大値を知りたい次の100000000+回、単にクエリ関数を呼び出します。すべてのクエリのO（logn）
-ここでc ++を実装geeksforgeeks.org/segment-tree-set-1-range-minimum-query/
古いアルゴリズム：
すべてのクエリは、選択された領域をトラバースして検索するだけです。

したがって、このアルゴリズムを使用して1回処理する場合は、古い方法よりも遅くなります。しかし、膨大な数のクエリ（10億）を処理する場合、次のようなテキストファイルを生成することは非常に効率的です。テスト

行1の場合：0-1000000から50000の乱数、 '（スペース）'で分割（
行は配列です）行2：2の1から50000までの乱数、 '（スペース）'で分割（クエリです）
...
200000行目：2行目と同様、ランダムクエリでもあります

これは問題の例です。申し訳ありませんが、ベトナム語
http://vn.spoj.com/problems/NKLINEUP/
にあります。古い方法で解決すると、合格することはありません。

スパーステーブルと呼ばれるデータ構造を使用して、クエリごとにO（1）（O（n log n）構成で）を実現できます。2の累乗ごとに、この長さの各セグメントの最大値を節約しましょう。ここで、セグメント[l、r）を指定すると、適切なkに対して[l + 2 ^ k）と[r-2 ^ k、r）の最大値の最大値が得られます。重なっていますが大丈夫です