ネストされたループは常にO（n ^ k）ですか？

別のループ内にループがあっても、内側のループが1回しか実行されないことがわかっている場合、このアルゴリズムはO（n ^ 2）のままですか？

For i = 1 to n do

     For j = 1 to i do

          If (i==j) do

              For k = 1 to n

                  {Do stuff}

2番目のループの反復ごとに1回iだけになるため、非常に内側のループは最大で1回実行されjます。これはまだn ^ 3ですか？

このように考えてください。Nに関係なく、最も内側の関数は2番目のループの実行ごとに1回だけ実行されます。つまり、実行回数はNに線形に依存します。これは、最初のループ内のすべてを線形（O（n））時間操作として扱うことができることを意味します（{do stuff}も一定時間であると想定）。最も外側のループを検討すると、O（n）をn回取る処理を実行していることがわかります。これは、全体的なランタイムがO（n ^ 2）であることを意味します

Nを2倍にすると、合計でN ^ 2回の反復が追加されます。したがって、全体のランタイムはN ^ 2です。

いいえ、ネストされたループは、アルゴリズムがO（n ^ k）であることを自動的に意味するわけではありません。この例の作業の基本単位は{Do stuff}であるため、n増加すると実行される回数を数える必要があります。jループは必要iありません。1からカウントアップするだけで、ループがに達するまで何もしませんi。その1回の反復でのみ実際に処理が行われるため、コード例はO（n ^ 2）です。