アレイを拡大するには何枚のコピーが必要ですか？

動的配列の分析を読んでいます（Skienaのアルゴリズムマニュアルから）。
つまり、配列構造があり、スペースがなくなるたびに、元のサイズの2倍のサイズの新しい配列を割り当てます。

これは、アレイのサイズを変更する必要があるときに発生する無駄について説明しています。
これは、（n / 2）+1からnまでが最大で1回移動されるか、まったく移動されないことを示しています。これは明らかです。
次に、要素の半分が1回移動し、要素の4分の1が2回移動する、などと記述すると、移動の総数Mは次のようになります。

これは実際に起こるよりも多くのコピーを追加するように私には思えます。

例えば

以下の場合：

array of 1 element
+--+
|a |
+--+

double the array (2 elements)  
+--++--+  
|a ||b |  
+--++--+  

double the array (4 elements)  
+--++--++--++--+  
|a ||b ||c ||c |  
+--++--++--++--+  

double the array (8 elements)  
+--++--++--++--++--++--++--++--+    
|a ||b ||c ||c ||x ||x ||x ||x |  
+--++--++--++--++--++--++--++--+    

double the array (16 elements)  
+--++--++--++--++--++--++--++--++--++--++--++--++--++--++--++--+    
|a ||b ||c ||c ||x ||x ||x ||x ||  ||  ||  ||  ||  ||  ||  ||  |   
+--++--++--++--++--++--++--++--++--++--++--++--++--++--++--++--+   

x要素を4回コピーし、c要素を4回コピーし、b要素を4回コピーし、1つの要素を5回コピーしたため、合計は4 + 4 + 4 + 5 = 17コピー/移動です。

しかし、式によれば、1 *（16/2）+ 2 *（16/4）+ 3 *（16/8）+ 4 *（16/16）= 8 + 8 + 6 + 4 = 26のコピーが必要です配列を16要素に拡大するための要素。

これはいくつかの間違いですか、それとも式の目的はおおよその上限近似値を提供することですか？または私はここで何かを誤解していますか？

最初に、bは3回移動され、aは4回移動されます。これにより、合計で4 + 4 + 3 + 4 = 15コピーになります。

数式はn = 8で埋める必要があると思います：1 *（8/2）（xは1回コピーされます）+ 2 *（8/4）（cは2回コピーされます）+ 3 *（8/8）（bは3回コピーされます）= 11.つまり、式には合計自体に加えて「+ log ₂ n + 1」の項が欠落しているようです。

移動数をカウントするより自然な方法のように思えるのは、コピーごとに移動された要素の数をカウントすることです。

i = 1からi = ceiling（log ₂ n）の合計：2 ^i-1

あなたの場合、n = 16なので、ceiling（log ₂ 16）= 4であり、上記の合計は2 ⁰ +2 ¹ +2 ² +2 ³ = 1 + 2 + 4 + 8 = 15です。

このスキーナのアルゴリズムマニュアルを見つけて正しいかどうかを確認します。

更新：スキーナのアルゴリズムマニュアルでその部分を見つけました。彼が使っている合計に欠けている用語があるようです。ただし、結論は正しいです。

M = i = 1からi =天井までの合計（log ₂ n）：2 ^i-1 = i = 0からi =天井までの合計（log ₂ n）-1：2 ⁱ = 2 ^{天井（log ₂ n）- 1 + 1} <=（2 ^{log ₂ n + 1-1 + 1}）= 2 * n

（私はあなたのためにこれらの数式をより良い方法でフォーマットできたらいいのにと思います）

この段落の要点は、償却分析の例を示すことです。可能性のあるメソッドなどのメソッドは、動的配列が非常にうまく機能する理由を（アドホックではなく）より良くしますが、このメソッドはやや高度です。

この本に誤りがあると確信している場合は、これについて著者に連絡することを検討してください（もちろん、建設的な方法で-この本には多くのページがあり、最後のすべてを正しいものにするのは難しく、常に本が正しいという可能性と私たちがそれを間違えた）。エラッタでこの特定のものを見つけていません。

低いブロックカウントレベルでは、メモリ割り当てが実際に発生することはほとんどありません。メモリマネージャーはメモリブロックを扱い、実際に要求された割り当て要求よりも大きなメモリブロックを定期的に割り当てます。

同様に、配列クラスの実装では、割り当てを切り上げて、いくつかの追加要素を許可する可能性があります。

編集：

さらに考察すると、実際のコピーは、説明したとおりに発生する可能性はほとんどありません。プロセッサには通常、ブロックコピーコマンドがあり、単一のassmbler命令を使用して、配列データを単一のメモリブロックとして新しいアドレスにコピーします。

本で与えられた式は単に間違っていると思います。i乗算器はそれを修正するための式から削除する必要があります。

アスカーの例を見て、1要素の配列array-1、2要素の配列を呼び出してみましょう- array-2、4要素の配列array-4。

したがって、本に応じて、この特定の例では、コピーの数は次の式によって決まります。

M = 1⋅8 + 2⋅4 + 3⋅2 + 4⋅1

合計の最初の項 1⋅8array-8'sアイテムをにコピーするためのものarray-16です。

array-4'sアイテムを(a, b, c, c)2回コピーします。からarray-4までarray-8。そして、array-8'sアイテムをにコピーするときarray-16にコピー(a, b, c, c)に、アイテムを2回目にコピーします。本に応じて、したがって2番目の用語：2⋅4。

ただし、この1⋅8用語では、(a, b, c, c)からarray-8へのアイテムのコピーがすでに考慮されていることに注意してください。array-16。したがって、この2⋅4用語には2乗数を含めないでください。

同じロジックが他のすべての用語に適用されます。だから、掛け算iは間違いです。