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パラメトリックカーブに極と零点を分布させることによるフィルター設計
AN NNN番目の順バターワースローパスフィルタのカットオフ周波数ωcωc\omega_c分配することにより設計することができるNNNパラメータに対して均一極を0<α<10<α<10 < \alpha <1 s平面パラメトリック曲線上のf(α)=ωcei(π/2+πα)f(α)=ωcei(π/2+πα)f(\alpha) = \omega_c e^{i(\pi/2+\pi\alpha)}、半円形です。 図1. 6次バターワースフィルターの極（CC BY-SA 3.0 Fcorthay） 同じパラメトリック曲線を、正規化されていない伝達関数を与える任意のフィルター次数使用できることは注目に値しNNNます。 H(s)=∏k=1N1s−f(2k−12N),(1)(1)H(s)=∏k=1N1s−f(2k−12N),H(s)=\prod_{k=1}^N\frac{1}{s-f\left(\frac{2k-1}{2N}\right)},\tag{1} そして、結果のフィルターは常にバターワースフィルターであること。つまり、同じ数の極と零点をもつ他のフィルターは、周波数ω=0ω=0\omega = 0およびでの振幅応答の消失導関数の数が多くなりませんω=∞ω=∞\omega = \infty。同一のカットオフ周波数有するバターワースフィルタの組ωcωc\omega_cバタワースのサブセットを形成するには、パラメトリック曲線たフィルタf(α)f(α)f(\alpha)固有のものです。NNNには上限がないため、サブセットは無限です。 より一般的には、パラメトリックカーブに由来する場合を除き、極と零点を無限に数えない、NNpNNpNN_p極とNNzNNzNN_z零点、NNNは整数、Nz/NpNz/NpN_z/N_pは整数の非負の分数を持つフィルターは、正規化されていない形式の伝達関数： H(s)=∏NNzk=1(s−fz(2k−12NNz))∏NNpk=1(s−fp(2k−12NNp)),(2)(2)H(s)=∏k=1NNz(s−fz(2k−12NNz))∏k=1NNp(s−fp(2k−12NNp)),H(s)=\frac{\prod_{k=1}^{NN_z}\left(s-f_z\left(\frac{2k-1}{2NN_z}\right)\right)}{\prod_{k=1}^{NN_p}\left(s-f_p\left(\frac{2k-1}{2NN_p}\right)\right)},\tag{2} ここで、fp(α)fp(α)f_p(\alpha)およびfz(α)fz(α)f_z(\alpha)は、極限における極と零点の分布を記述するパラメトリックカーブですN→∞N→∞N\to\infty。 質問1：バターワース以外のフィルタータイプには、いくつかの最適性基準で定義され、式ごとに分数Nz/NpNz/NpN_z/N_pとパラメトリック曲線fp(α)fp(α)f_p(\alpha)およびのペアでそれぞれ定義される無限のサブセットがありますfz(α)fz(α)f_z(\alpha)。2、フィルターはだけ異なるNNN？タイプI チェビシェフフィルター、はい; これらの場合、極はパラメトリック角楕円の半分に存在しαα\alphaます。バターワースとタイプIおよびタイプIIのチェビシェフフィルターはどちらも楕円フィルターの特殊なケースです。。明確にするために、「無限のサブセット」とは、無限の数のサブセットではなく、無限のサイズのサブセットを意味します。 質問2：非バターワース非チェビシェフ楕円フィルターには、このような無限のサブセットがありますか？ 質問3：すべての楕円フィルターはそのような無限のサブセットにありますか？ すべての楕円フィルターの無限集合が、極を配置するための単一のパラメトリックカーブとゼロを配置するための単一のパラメトリックカーブ、および零点から極への場合、楕円フィルターを得るための数値最適化は、特定の次数のフィルターではなく、パラメトリック曲線を最適化することで実行できます。最適な曲線を複数のフィルター次数に再利用して、最適性を維持できます。上記の「if」が質問2と3を尋ねる理由です。質問1は、他の最適性基準へのアプローチの拡張に関するものです。 確かに、楕円フィルターの極-零点プロットは、基本的な曲線があるように見えます。 図2. s平面上の楕円ローパスフィルターの対数振幅。白い点は極であり、黒い点はゼロです。 1つのリードは、Eqごとです。1、特定の値、したがって特定の極とゼロの位置を複数のフィルター間で共有する必要があります。αα\alpha 図5. 異なるフィルター次数Nに対して曲線パラメーターによって取得された値。いくつかのフィルター次数に対して、たとえばα = 0.5またはα = 0.25およびα = 0.75があることに注意してください。αα\alphaNNNα=0.5α=0.5\alpha = 0.5α=0.25α=0.25\alpha = 0.25α=0.75.α=0.75.\alpha = 0.75. 具体的には、持っているフィルタのため極または零点を、それらがすべて持っているフィルタでも現れる3 N …