どのIIRフィルターがガウスフィルターを近似しますか？

だから最近、ベッセルフィルターは、他の一般的なタイプと一緒にリストされているにもかかわらず、実際には別の「クラス」に属する奇妙なものであることがわかりました。

長方形の振幅応答は、遷移帯域がゼロで、阻止帯域の減衰が無限であるため、理想的な周波数領域応答を表します。一方、ガウス振幅応答は、インパルス応答とステップ応答でオーバーシュートが発生しないという点で、理想的な時間領域応答を表します。実際に達成される応答の多くは、これらの理想的な^ソースへの近似^です

したがって、ブリックウォールフィルターはsinc関数を使用した畳み込みであり、次の周波数領域のプロパティがあります。

• フラットパスバンド
• ゼロ阻止帯域
• 無限ロールオフ率/遷移帯域なし

両方向に無限のテールがあるため、非因果的で実現不可能です。次のIIRフィルターで近似され、次数が増加するにつれて近似が改善されます。

• バターワース（最大フラットパスバンド）
• チェビシェフ（阻止帯域または通過帯域リップルを伴う最大ロールオフレート）
• 楕円（阻止帯域と通過帯域のリップルを伴う最大ロールオフ率）
• ルジャンドル （単調な通過帯域での最大ロールオフ率）

ガウスフィルタは、ガウス関数との畳み込みであり、これらの時間領域のプロパティがあります。

• オーバーシュートゼロ
• 最小の立ち上がり時間と立ち下がり時間
• 最小群遅延

sinc関数と同じ理由で実現不可能であり、次数が増加するにつれて、これらのIIRフィルターにより近似できます。

• ^{1および2に従う}ベッセル（最大フラットグループ遅延）

$e^{-{1 \over 2}(\pi \omega)^2}$

だから私の質問は：

これまでのところすべてが正しいですか？もしそうなら、ガウスに近い他のIIRフィルターはありますか？彼らは何のために最適化されていますか？たぶん、オーバーシュートを最小限に抑えるものですか？

「IIR Gaussian」を検索すると、いくつかのものが見つかります（Deriche？van Vliet？）

DericheとバンVlietフィルタがヒューリスティックです。どちらの場合も、RMS差またはガウスからのフィルターのインパルス応答の最大差を最小化するために、極と零点の位置を選択します。

両方のフィルターは因果反因果ペアです。したがって、位相エラーやグループ遅延はないと思いますが、データだけでなくデータを逆方向に実行できる必要があります。これにより、画像処理で人気がありますが、おそらく他の場所での適用性が制限されます。

それらがヒューリスティックであることは、それらを微調整する豊富な論文によって証明されています。たとえば、Googleの検索（Dericheの論文へのリンクを探していたとき）は、Dericheのガウス微分フィルターのDC応答が正確に0でないという問題を解決しようとするものを見つけました。境界条件を正しく初期化することに関する興味深い問題もいくつかあります。

私は次の概要が良いリソースであることを発見しました：デイブヘイル、コロラドスクールオブマインズセンターフォーウェーブフェノメナレポートCWP-546。

離散時間IIRフィルターの既存の分析ソリューションの概要を説明したと思います。しかし、理想的な周波数選択フィルター特性を近似するフィルターのリストにベッセルフィルターも追加します。その振幅応答は、同じ次数の他のフィルタータイプほど急激な遷移を示しませんが、これは通過帯域内のほぼ線形の位相に対して支払う価格です。したがって、ベッセルフィルターは、周波数選択性の振幅応答と良好な位相応答の間の妥協点です。

ガウスフィルターをIIRフィルターで近似するために、あなたが述べたベッセルフィルターを除いて、解析ソリューションは知りません。しかし、ベッセルフィルターはガウスフィルターを近似することを意図したものではないことに注意してください。この目的のためにIIRフィルターが本当に必要な場合は、ガウスフィルターの数値近似をお勧めします。これを行う方法はいくつかあります。

周波数領域でガウスフィルターを近似することができます。問題は、希望する位相応答に関して何らかの決定をしなければならないことです。位相応答が最小の純粋な振幅近似では、時間領域の特性が非常に悪くなります。希望する線形位相を指定すると、複素近似問題が発生します（振幅と位相で複素周波数応答を近似するため）。そのような近似問題を解決するのは非常に難しい場合がありますが、文献には方法が存在します。

より簡単でおそらくより良いアプローチは、時間領域でガウスフィルターを近似することです。プロニーの方法は良い出発点です。

これらはトピックに関する私の考えにすぎないことに注意してください。私は自分でIIRガウスフィルターを設計しようとしませんでした。FIRを実装する理由は、特に理由がない限りです。

編集：ベッセルフィルターがガウスに近似するかどうかの質問に関するコメントをもう少し。ガウスフィルターを近似する際にベッセルフィルターが最小化する意味のあるエラー基準は知りません。私はそれについて学んでうれしいです。人々は、ベッセルフィルターのインパルス応答がガウスに似ている、またはその周波数応答がガウスに似ていると主張するかもしれませんが、ベッセルフィルターが何らかの意味でガウスに近似していること、および近似誤差がフィルター次数が増加するとゼロ。他の標準フィルター（バターワース、チェビシェフなど）よりもガウスに似ていることを否定しませんが、これは質問にとって重要ではありません。

Octave（関数besself）で設計されたベッセルフィルターのインパルス応答の4つのプロット（次数5、10、15、20）を参照してください。ご覧のように、テールのリンギングはフィルター次数の増加とともに減少せず、これらのフィルターがどのようにガウスに近似するか、もしそうなら、どの最適性基準に従っているかはわかりません。しかし、もし誰かがこれについて私を啓発できれば、私はもっと幸せになるでしょう。