非対称ベルヌーイ行列はRIPを満たしますか？

センシング行列を、確率で、確率で定義します。DOES満足制限された等長性が？ $n\times N$ $A$ $A_{ij} = 0$ $p$ $A_{ij} = 1/\sqrt{n}$ $1-p$ $A$

参考までに、対称のケースは次の論文で回答されています。

RG Baraniuk、MA Davenport、RA DeVore、およびMB Wakin、「ランダムマトリックスの制限されたアイソメトリープロパティの簡単な証明」、建設的近似、28（3）pp。253-263、2008年12月。（pdf）

compressive-sensing

— オリビア
ソース

これはポインタである可能性があります：ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5512379（残念ながら、ペイウォールされており、OAコピーが見つかりません）。論文の詳細はわかりませんが、一目でわかるように、彼らはあなたが求めるほど一般的なケースを考慮していません。彼らはp = 1/2を考慮します。また、私はそれらがそのようなマトリックスのRIPについてどれほど徹底しているかを知りません。

— Thomas Arildsen 2013年

これもヒントになる可能性があります：rauhut.ins.uni-bonn.de/RauhutSlidesLinz.pdf（98ページ）。残念ながら、彼がベルヌーイ確率変数と呼ぶものは、ランダムな+/- 1-0/1ではないように見えます（私はこれらのRademacherを呼び出します）。

— Thomas Arildsen 2013年

stats.SEの同じ投稿（現在は削除済み）に対して行ったコメントの要点を繰り返すことを許可します。この質問をより正確にし、何に興味があるのか、何に適応するのに苦労しているのかを示すのに役立ちます。@Thomasのコメントは関連があります。我々はまた、あなたがに興味があるスパース性のどの程度を（すなわち、順）知りません。私たちはRademacherの機能を考慮した場合でも、答えは明確ではありません何（の任意の制服でのletのために、センス）も（または、十分に近いです）部分行列がすべて1である（可能性が高い）ようにします。（続き）

p

$p$

p

$p$

1

$1$

— 2013年

シーケンスを関数として選択することにより、任意のサイズの行列の一部のでこれが真になります。一方、固定場合、構築を変更して、を確率、を確率場合、答えは明らかにイエスです。これは、ゼロ平均サブガウスランダム行列に関連するはるかに一般的な理論に基づいているためです。

p_{n} \in (0, 1)

$p_n \in (0,1)$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

A_{i j} = (1 - p) / \sqrt{n}

$A_{ij} = (1-p)/\sqrt{n}$

p

$p$

- p / \sqrt{n}

$-p/\sqrt{n}$

(1 - p)

$(1-p)$

— 2013年

@cardinalに感謝します。行列はゼロ平均ではありませんが、サブガウスランダム行列の理論はこの質問に答えます。私はどのように思っていたそれがノルムを保存しない与えられたRIPを満たすことができ、適切なスケーリングがあり明白であるない

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— オリビア

他のコメントで述べたように、答えは「いいえ」です。行列の非ゼロ平均は、非ゼロ平均ベクトル（たとえば、すべて1）が、ゼロ平均（たとえば、一様にランダムな+ 1、-1）を持つランダムベクトルよりも実質的に高いゲインを持つことを示します。

Aの二乗ノルムと定数ベクトルyの積がn *（p * N）^ 2であると予想されることを考えます。（期待の繰り返し）

（-1、+ 1）から一様に描かれたベクトルxのAの二乗ノルムは、n *（p * N）であると予想されます。（二項分布の分散の合計によって計算可能）

xとyのノルムは同じですが、変換されたノルムの期待値はp * Nの係数で異なり、次元が大きくなるにつれて発散します。

デモに役立つMATLABコードを以下に示します。

n=2000;
N=1000;
p=.9;
A=double(rand(n,N)<p); 
x=sign(randn(N,1)); 
y=ones(N,1);
Ex_normSqAx = n*(N*p);  % E[ squared norm of A times random signs ]
Ex_normSqAy = n*(N*p)^2; % E[ squared norm of A times constant vector ]
normSqAx = norm(A*x)^2;
normSqAy = norm(A*y)^2;

— マーク・ボーガーディング
ソース