変調ノイズを理解するための数学ツールは何ですか？

ガウスホワイトノイズで構成される信号があるとし $n$ ます。我々はを乗じて、この信号を変調した場合 $\sin 2\omega t$ 、得られる信号は、まだ白いパワースペクトルを持っていますが、はっきりとノイズが今の時間に「束ね」です。これは周期定常プロセスの例です。

x (t) = n (t) \sin 2 ω t

$x(t) = n(t) \sin2\omega t$

ここで、サインおよびコサイン局部発振器と混合して、周波数でこの信号を復調し、 $\omega$ IおよびQ信号を形成すると仮定します。

I = x (t) \times \sin ω t

$I = x(t) \times \sin\omega t$

Q = x (t) \times \cos ω t

$Q = x(t) \times \cos\omega t$

$x(t)$ （よりはるかに長い時間間隔で取得のパワースペクトルが白色であることを単純に観察すると、と両方に同じ振幅の白色ガウスノイズが含まれている $1/f$ ことが予想されます。ただし、実際に起こることは、求積法が高分散で時系列の部分を選択的にサンプリングし、が90度位相がずれて低分散の部分をサンプリングすることです。 $I$ $Q$ $I$ $x(t)$ $Q$

変調ノイズ描写

その結果、Iのノイズスペクトル密度は $\sqrt{3}$ 倍。 $Q$

明らかに、変調ノイズを記述するのに役立つパワースペクトルを超えるものが必要です。私の分野の文献には、上記のプロセスを説明する多くのアクセシブルな論文がありますが、信号処理/ EEコミュニティによってより一般的にどのように扱われるかを学びたいです。

周期定常ノイズの理解と操作に役立つ数学ツールは何ですか？ 文献への参照も歓迎します。

参照：

Niebauer他、「非定常ショットノイズと干渉計の感度への影響」。物理学牧師A 43、5022から5029まで。

noise modulation cyclostationary-random-process

— ニボット
ソース

あなたが表示されていることの結果を得るために、あなたの復調器は、同じキャリア周波数によってダウンコンバートしなければならない

だけでなく、

。

2 ω

$2 \omega$

ω

$\omega\$

— ジェイソンR

@Jason Rは、ああ、私は、元でミスをした参照

変調。これは、ポアソンノイズからガウスノイズへの変更の誤りによるものです。

2 ω

$2\omega$

— -nibot

ここで何を探しているのか具体的にはわかりません。ノイズは通常、そのパワースペクトル密度、または同等の自己相関関数によって記述されます。ランダムプロセスの自己相関関数とそのPSDは、フーリエ変換ペアです。たとえば、ホワイトノイズには、衝動的な自己相関があります。これは、フーリエ領域のフラットなパワースペクトルに変換されます。

あなたの例は、（幾分非現実的ながら）のキャリア周波数で搬送波変調ホワイトノイズを観測する通信受信機に類似している $2 \omega$ 。例の受信機は、送信機の発振器とコヒーレントな発振器を備えているため、非常に幸運です。変調器と復調器で生成される正弦波の間に位相オフセットがないため、ベースバンドへの「完全な」ダウンコンバージョンが可能になります。これは、それ自体では実用的ではありません。コヒーレント通信受信機には多くの構造があります。ただし、ノイズは通常、受信機が回復しようとする変調信号とは無関係な通信チャネルの追加要素としてモデル化されます。送信機が変調出力信号の一部として実際にノイズを送信することはまれです。

ただし、それが邪魔にならないので、例の背後にある数学を見て、観察を説明することができます。（少なくとも元の質問で）説明した結果を得るために、変調器と復調器には、同じ基準周波数と位相で動作する発振器があります。変調器は次を出力します。

\begin{aligned} n （ t ） & 〜 N （ 0 、 σ^{2} ） \\ バツ （ t ） & = n （ t ） 罪 （ 2 ω t ） \end{aligned}

$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$

受信機は、次のようにダウンコンバートされたIおよびQ信号を生成します。

\begin{aligned} 私 （ t ） & = バツ （ t ） 罪 （ 2 ω t ） = n （ t ） 罪^{2} （ 2 ω t ） \\ Q （ t ） & = バツ （ t ） \cos （ 2 ω t ） = n （ t ） 罪 （ 2 ω t ） \cos （ 2 ω t ） \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$

一部の三角関数のアイデンティティは、およびさらに肉付けするの役立ちます。 $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} 罪^{2} （ 2 ω t ） & = \frac{1 - \cos （ 4 ω t ）}{2} \\ 罪 （ 2 ω t ） \cos （ 2 ω t ） & = \frac{罪 （ 4 ω t ） + 罪 （ 0 ）}{2} = \frac{1}{2} 罪 （ 4 ω t ） \end{aligned}

$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$

これで、ダウンコンバートされた信号ペアを次のように書き換えることができます。

\begin{aligned} 私 （ t ） & = n （ t ） \frac{1 - \cos （ 4 ω t ）}{2} \\ Q （ t ） & = \frac{1}{2} n （ t ） 罪 （ 4 ω t ） \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$

入力ノイズはゼロ平均であるため、ともゼロ平均です。これは、それらの分散が次のことを意味します。 $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} σ_{私 （ t ）}^{2} & = E （ 私^{2} （ t ） ） = E （ n^{2} （ t ） {[\frac{1 - \cos （ 4 ω t ）}{2}]}^{2} ） = E （ n^{2} （ t ） ） E （ {[\frac{1 - \cos （ 4 ω t ）}{2}]}^{2} ） \\ σ_{Q （ t ）}^{2} & = E （ Q^{2} （ t ） ） = E （ n^{2} （ t ） 罪^{2} （ 4 ω t ） ） = E （ n^{2} （ t ） ） E （ 罪^{2} （ 4 ω t ） ） \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$

あなたはあなたの質問でとの分散の比率に注意しました。次のように簡略化できます。 $I(t)$ $Q(t)$

\frac{σ_{私 （ t ）}^{2}}{σ_{Q （ t ）}^{2}} = \frac{E （ {[\frac{1 - \cos （ 4 ω t ）}{2}]}^{2} ）}{E （ 罪^{2} （ 4 ω t ） ）}

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$

期待値は、ランダムプロセスの時間変数取得されます。関数は決定論的で周期的であるため、これは実際には1周期にわたる各正弦関数の平均二乗値に相当します。ここに示されている値の場合、比率は $n(t)$ $t$ 、あなたが述べたように。Iチャネルでより多くのノイズパワーが得られるという事実は、復調器自体の正弦波基準でノイズがコヒーレントに（つまり、同相で）変調されていることのアーティファクトです。基礎となる数学に基づいて、この結果は予想されるものです。ただし、前に述べたように、このタイプの状況は一般的ではありません。 $\sqrt 3$

直接質問していませんが、このタイプの操作（正弦波搬送波による変調とそれに続く搬送波の同一またはほぼ同一の再生の復調）は、通信システムの基本的な構成要素であることに注意してください。周波数においてI及びQ信号成分を除去するローパスフィルタ：実際の通信受信機は、しかし、キャリア復調後に追加のステップを含むであろう。ダブルキャリア周波数成分を除去すると、IエネルギーとQエネルギーの比率は次のようになります。 $4 \omega$

\frac{σ_{私 （ t ）}^{2}}{σ_{Q （ t ）}^{2}} = \frac{E （ （ \frac{1}{2} ）^{2} ）}{E （ 0 ）} = \infty

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$

これがコヒーレント直交変調レシーバーの目標です。同相（I）チャネルに配置された信号は、直交（Q）信号への漏れなしでレシーバーのI信号に伝えられます。

編集：私はあなたのコメントを以下に対処したかった。直交受信機の場合、ほとんどの場合、搬送周波数は送信信号帯域幅の中心にあるため、搬送周波数に帯域制限される代わりに、一般的な通信信号は間隔 $\omega\$ 、ここではその変調帯域幅です。直交受信機は、最初のステップとして信号をベースバンドにダウンコンバートすることを目的としています。これは、後続の分析ステップでIおよびQチャネルを複素数値信号の実数成分と虚数成分として扱うことで実現できます。 $[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$ $B$

周期定常の2次統計に関するコメントに関して、エラーがあります。信号の周期定常性は、自己相関関数でキャプチャされます。関数を： $x(t)$ $R(t, \tau)$

R （ t 、 τ ） = E （ バツ （ t ） バツ （ t - τ ） ）

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$

R （ t 、 τ ） = E （ n （ t ） n （ t - τ ） 罪 （ 2 ω t ） 罪 （ 2 ω （ t - τ ） ） ）

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$

R （ t 、 τ ） = E （ n （ t ） n （ t - τ ） ） 罪 （ 2 ω t ） 罪 （ 2 ω （ t - τ ） ）

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$

$n(t)$ $\tau$

R （ t 、 τ ） = σ^{2} δ （ τ ） 罪^{2} （ 2 ω t ）

$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$

$x(t)$

— ジェイソンR
ソース

Re：「これはコヒーレント直交変調受信機の目標です...」-これは、元の信号が搬送周波数より低い周波数に帯域制限されている場合にのみ当てはまりますか？

— nibot

n (t) \cdot \sin ω t

$n(t)\cdot\sin\omega t$

δ (t)

$\delta(t)$

私はあなたの2つのコメントについて話すために答えを編集しました。

— ジェイソンR

@ジェイソン、良い投稿。ただし、循環定常プロセスについてお話しする部分を理解しようとしています。ここで「t」がRの関数である理由を理解するのに苦労しています...-期待演算子の後、「t」（時間）変数はもうありません...タウの関数のみです。

— スペイシー

@Jasonは気にしません、統計は時間とともに（周期的に）変化するので、「t」はそこになければならないことに気付きました。したがって、オートコア関数も時間と遅延の関数になります...しかし、私は理解していませんこの場合は、delta * sin ^ 2を取得した方法です...これは、投稿する実際の質問を保証しますか？

— スペイシー