線形位相のFIRフィルター、4種類

線形位相、つまり一定の群遅延を持つ4種類のFIRフィルターがあることを知っています：（M =インパルス応答の長さ）

1. 対称的なインパルス応答、M =奇数

2. インプ それぞれ 対称、M =偶数

3. インプ それぞれ 非対称、M =奇数

4. インプ それぞれ 非対称、M =偶数

それぞれに特徴があります。これらのタイプのうち、線形位相設計のFIRフィルターで最も一般的に使用されるのはなぜですか？:)

これら4種類の線形位相フィルターのいずれかを選択する場合、主に3つの考慮事項があります。

1. ゼロに対する制約におよびz = 1 z = − $H(z)$$z=1$$z=-1$

2. 整数/非整数の群遅延

3. 位相シフト（線形位相を除く）

タイプIフィルター（タップ数が奇数、対称が偶数）の場合、およびのゼロに制約はなく、位相シフトはゼロ（線形位相を除く）であり、群遅延は整数です値。z = − $z=1$$z=-1$

タイプIIフィルター（偶数のタップ、偶数の対称性）は常に（つまり、サンプリング周波数の半分）でゼロになり、位相シフトはゼロになり、群遅延は非整数になります。$z=-1$

タイプIIIフィルター（奇数のタップ、奇数の対称性）は常におよび（つまりおよび）でを持ち、90度の位相シフトと整数グループを持ちます。ディレイ。z = − 1 f = 0 f = f s /$z=1$$z=-1$$f=0$$f=f_s/2$

タイプIVフィルター（偶数のタップ、奇数対称）は、常にでゼロ、90度の位相シフト、および非整数の群遅延を持ちます。$z=1$

これは、（特に）次のことを意味します。

• タイプIフィルターは汎用性がありますが、微分器やヒルベルト変換器など、90度の位相シフトが必要な場合は使用できません。

• タイプIIフィルターは、、つまりでゼロであるため、通常、ハイパスまたはバンドストップフィルターには使用されません。また、90度の位相シフトが必要なアプリケーションにも使用できません。f = f s /$z=-1$$f=f_s/2$

• タイプIIIフィルターは、標準の周波数選択フィルターには使用できません。これらの場合、通常、90度の位相シフトは望ましくないためです。ヒルベルト変換器の場合、タイプIIIフィルターは、およびゼロのため、非常に低い周波数および非常に高い周波数で比較的悪い振幅近似をます。一方、タイプIIIヒルベルト変換器は、タイプIVヒルベルト変換器よりも効率的に実装できます。これは、この場合、タップが1つおきにゼロになるためです。z = − $z=1$$z=-1$

• タイプIVフィルターは、タイプIIIフィルターと同じ理由で、標準の周波数選択性フィルターには使用できません。これらは微分器とヒルベルト変換器に適しています。また、タイプIIIフィルターとは異なり、ゼロがないため、通常、それらの振幅近似はより優れています。$z=-1$

• アプリケーションによっては、整数のグループ遅延が望ましい場合があります。これらの場合、タイプIまたはタイプIIIフィルターが優先されます。

反対称インパルス応答を備えたフィルターはすべて、（つまり、周波数0）でゼロになります。したがって、ハイパスフィルターまたは派生的なフィルター（またはバンドパス）を実装する必要がある場合は、タイプ3および4を選択する必要があります。$z=1$

同様に、フィルターがローパスタイプの場合、タイプ1と2が適用されます。

そのため、これは設計する必要があるフィルターのタイプに依存し、どちらがより一般的であるかには依存しません。

次に、位相応答の点でタイプ1と3と2と4の間にも違いがあります。2つのタイプの間に余分ながあります。導入された実際の遅延を気にしなくても、このハーフサンプルの差は、ハイパスフィルターの場合には収束の観点から重要になる可能性があります（余分な位相により、周波数応答がで連続することがありますしたがって、はるかに高速な収束とより少ない係数の必要性を提供します）。 θ = $e^{j\theta/2}$$\theta = \pi$

実装に関しては、同じ係数を2回繰り返すことなく、4つのタイプすべてを効率的に実装できます。

もちろん、Mサイズの遅延線全体が必要です。ただし、各タップ出力に独自の係数を乗算する代わりに、最初に2つの対応する出力を加算（または減算）してから、係数を1回だけ乗算します。

たとえば、インパルス応答が（タイプ1フィルター）の場合、、ます。$h[n] = a \delta[n] + b \delta[n-1] + a \delta[n-2]$$y[n] = a x[n] + b x[n-1] + a x[n-2]$$y[n] = a (x[n] + x[n-2]) + b x[n-1]$

既に2つの非常に優れた答えがあるので、他の答えで与えられたプロパティを健全性チェックできる非常に基本的な例をいくつか示します。ゼロ位置と位相応答は直接利用可能です。

対称、M =奇数

$H(z) = 1\pm2z^{-1}+z^{-2} = (1\pm z^{-1})^2 \\ H(e^{j\omega}) = (1\pm e^{-j\omega})^2 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2}))^2 = e^{-j\omega}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2})^2 = 4e^{-j\omega}\cos^2(\omega/2) \quad or \quad -4e^{-j\omega}\sin^2(\omega/2) = 4e^{-j(\omega-\pi)}\sin^2(\omega/2)$

$H(z) = 1+z^{-2} = (1 + jz^{-1})(1 - jz^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j2\omega}) = e^{-j\omega}(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) = 2e^{-j\omega}\cos(\omega)$

対称、M =偶数

$H(z) = 1 + z^{-1}\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}) = 2e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2)$

$H(z) = 1 + z^{-3} \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j3\omega}) = e^{-j3\omega/2}(e^{j3\omega/2} + e^{-j3\omega/2}) = 2e^{-j3\omega/2}\cos(3\omega/2)$

$H(z) = 1 + 3z^{-1} + 3z^{-2} + z^{-3} = (1 + z^{-1})^3 = (1-e^{-2\pi/3}z^{-1})(1-e^{2\pi/3}z^{-1})(1+z^{-1})\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega})^3 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}))^3 = 8e^{-j3\omega/2}\cos(\omega/2)^3$

$h[N/2] = 0$

$H(z) = 1 - z^{-2} = (1 + z^{-1})(1 - z^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = 1 - e^{-j2\omega} = e^{-j\omega}(e^{j\omega} - e^{-j\omega}) = 2je^{-j\omega}\sin(\omega)=2e^{-j(\omega-\pi/2)}\sin(\omega)$

非対称、M =偶数

$H(z) = 1 - z^{-1} \\ H(e^{j\omega}) = (1 - e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) = 2je^{-j\omega/2}\sin(\omega/2)$

[1]良いリファレンスmitrappt