ディラック関数のサンプリング

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ディラック関数に関する理論的な質問をしたいと思います。ディラック関数のフーリエ変換は、すべての周波数に対して値1（DC）です。サンプリング定理を考える場合、サンプリングできるように、信号で最大周波数を見つける必要があります。しかし、フーリエ変換からわかるように、ディラック関数にはすべての周波数が含まれているため、適切な見つけることができません。私の質問は、理論的な観点から、ディラック関数をサンプリングできるかどうかです。 $\ f_{max}$ $\ f_s \ge \ 2f_{max}$ $f_s$

編集：役立つ回答をお寄せいただきありがとうございます。

sampling

— ジョージ・ツェレス
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デジタルランドでは、シーケンスx [n] =（1、n = 0）（その他の場合は0）は、アナログの世界でディラック分布が行うほとんどの仕事を行います。これは畳み込みの基本関数であり、フラットな周波数応答を持ち、「ワイヤー」のインパルス応答です。それは実際にはデジタルで簡単です一つのことだ

— ヒルマー

個人的には、「いいえ、ディラックインパルスはサンプリングできませんこれは、関数（または分布）が取る値がないためです。」 $\delta(t)$ $t=0$ $t=0$ そこに何もされていない物理的な世界におけるディラックのデルタ関数は、それの近似します、。したがって、サンプリングするものはありません。

— robert bristow-johnson 2014

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サンプリング定理が成り立つかどうかに関係なく、任意の信号をサンプリングできます。サンプリング定理は、サンプリングレートが十分である場合、サンプルは完全な元の信号を表すことを示しています。

不連続性のある信号、またはさらに悪いことになどの分布は帯域制限されていないため、サンプリング定理の仮説は成立しません。 $\delta(t)$

また、サンプリング定理の通常のデモンストレーションでは、信号にパルス列を乗算する必要があることに注意してください。分布の積は明確に定義されていないため、これは信号が分布であることを完全に排除していると思います。

実際には、でのサンプリングを想像してください。このサンプルには未定義の値があります。 $\delta(t)$ $t=0$

— フアンチョ
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「すべての信号をサンプリングできます」–まあ、サンプリングアルゴリズムはどの信号にも適用できますが、実際にこのプロセスを「サンプリング」と呼ぶと、状況によっては、信号を結果、つまり、サンプリング定理の前提条件が満たされている。

— leftaroundabout

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私はフアンチョの答えに完全に同意します。いくつか追加したいと思います。主な問題は、質問の最後の文で明らかになる誤解だと思います：「...ディラック関数をサンプリングできるか？」ディラックインパルスは、すべてのに対して明確な値を持つ通常の関数ではありませんが、分布です（それは、しばしば「ディラック関数」と呼ばれますが）。したがって、それを「評価」（またはサンプリング）しようとすべきではありません。ディラックのインパルスについて重要なのは、その不可欠な特性です。 $t$

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t) d t = 1

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$ および

\int_{- \infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) f (t) d t = f (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)$

フアンチョがすでに指摘したように、ディラックインパルスの二乗は定義されていません。したがって、ディラックインパルスをサンプリングすると、未定義の結果が得られます。 $\delta^2(t)$

\sum_{n} δ (t - n T) δ (t) = δ^{2} (t)

$\sum_n\delta(t-nT)\delta(t)=\delta^2(t)$

ディラックインパルスは、線形時不変システムを分析するための便利なツールですが、ディラックインパルスに適用すると、通常の信号（サンプリングなど）で実行される一般的なタイプの処理が未定義で意味のない結果になる可能性があるため、注意して扱う必要があります。

— マットL.
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2

ディラックによって運ばれる情報は、その場所と強度です。Vetterli et al。Nディラックの合計によって与えられる信号をサンプリングする方法を示します。

$x(t)=\sum_{i=0}^{N-1}r_i\delta(t-t_i)$

$x(t)$ $r_i$ $t_i$ $i=0,\ldots,N-1$ $x(t)$

ブルー、ティエリー他「シグナルイノベーションのスパースサンプリング。」信号処理マガジン、IEEE 25.2（2008）：31-40。

— アリゴ
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