離散フーリエ変換のゼロ周波数の中心化

私は、離散フーリエ変換を使用してぼかし/シャープ化を実装する画像処理アプリケーションに取り組んでいます。アプリケーションは多かれ少なかれ動作していますが、メカニズムについてはまだ混乱しています。

特に、ゼロ周波数を中心にするプロセスがどのように行われているかです。

私が見た例では、入力画像（グレースケール強度）に、入力画像と等しいサイズの行列を乗算することによって前処理を行っています。その値はで、xは行、yは列です。したがって、1と− 1が交互になるパターン$(-1)^{x+y}$$x$$y$$1$$-1$

ノートによると、これは、軸とy軸をめくって行列の象限を入れ替えることと同じです。$x$$y$

これが行われる理由を理解し、コード/フーリエ関数が機能していることを理解したいのですが、入力マトリックスを1 / -1で乗算すると、ゼロ周波数成分が0を中心とする理由がわかりません。

ありがとう

ああ！なんてクールなトリックでしょう！これは、たたみ込み定理のために機能します（つまり、空間/時間領域での乗算は、周波数領域でのたたみ込みと同等です）。

$x$$y$

これがテスト画像です： 。フーリエ変換は次のようになります。

交互の画像（）のフーリエ変換を行うと、フーリエ変換の中心にある単一の点になります。（まだ回転を行っていないので、フーリエ変換の中心は高周波であり、低周波はまだコーナーにあります。）しかし、これは「回転カーネル」です。この回転と連動して、カーネルはすべてを右下に移動します（ただし、右下から落ちたものは左上に回転します）。

（画像領域の）回転カーネルで元の画像を畳み込むと、次のようになります。回転カーネル（周波数領域の）でフーリエ変換画像を畳み込むと、次のようになります。

そして、テストドメインに画像ドメインのチェッカーボードを掛けると、が得られることを確認できます。

Wandering Logicの答えは正確で詳細です。写真の代わりにいくつかの数学を見たいと思っただけです：

$(-1)^k = e^{j\omega}$$\omega$$2\pi (k/2)$

その効果は、以前はインデックス0であったゼロ周波数が画像の幅（または列または行を乗算するかどうかに応じて高さ）の半分になっていることです。