それ自体に時間遅延バージョンの信号を追加すると、フィルターされた信号が作成されるのはなぜですか？

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私はこの質問を尋ねられ、周波数ドメインを含まないその場で答えを出すことができませんでした（基本的に、遅延シーケンスの係数はFIRフィルターのインパルス応答であるということです）。

このプロセスを「明白」にする洞察を誰かが持っていますか？

filters

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信号を秒遅延させて信号自体に追加すると、周波数で信号成分がキャンセルまたはゼロになります。 $T$ ヘルツその信号成分は正確に位相を変更しているので： $\frac{1}{2T}$ $\pi$

\begin{aligned} \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} (t - T) + θ) & = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ - π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \cos (π) \\ - \cos (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \sin (π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

要約すると、さまざまな周波数がさまざまなゲインで通過しているため、信号はフィルター処理されています。

$H(f)$

F [δ (t) + δ (t - T)] = 1 + \exp (- j 2 π f T)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$

f

$f$

| H (f) |

$|H(f)|$

2

$2$

0

$0$

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$

X (f)

$X(f)$

— ディリップ・サルワテ
ソース

遅れて申し訳ありません-ここから（フィルタリングは干渉です）、フィルタリングは2つの信号のたたみ込みである必要があるのですか？私はそれを（代数的に）2つのコサイン式の合計から見ることができますが、理由を直感することはできません。

— Tom Kealy 2013年

「フィルタリングは干渉です」とはどういう意味ですか？私はこの概念をまったく理解していません

— Dilip Sarwate 2013年

さて、2つの信号を異なる位相で追加することは、波が干渉するため、時間遅延を伴うフィルタリングと同等であることを確立しました（またはそうしましたか？）。そこから（時間領域で）どのようにしてそこから畳み込みに行きますか？

— Tom Kealy 2013年

私はまだ質問を理解していません。

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$ インパルス応答を持つフィルターの出力です

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$ その入力はたまたま

x (t)

$x(t)$ 、マットの答えで指摘されているように。出力を畳み込みとして書きたい場合は、

y (t) = x ⋆ h = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) h (u) d u = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) [δ (u) + δ (u - T)] d u

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$ where, when you evaluate the integrals using the sifting property of impulses, you get

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$ which you knew already.

— Dilip Sarwate

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If you define (linear time-invariant) filtering as convolution, then the answer is obvious: the sum of a signal and a delayed version of it can be written as a convolution with an impulse response $h(t)$ ：

h （ t ） = δ （ t ） + δ （ t - T ）

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$ どこ

T

$T$ 信号の2つのバージョン間の遅延です。

— マットL.
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信号の遅延された追加バージョンの時間遅延が周期的なコンテンツのちょうど1サイクルである場合、出力は追加的に増加します。遅延が正弦波成分の周期のちょうど半分である場合、その成分は破壊的に干渉し、したがって出力からゼロにされます。遅延がゼロの場合、信号は2倍になります。完全な相殺的干渉または完全な加算の間にある周波数/位相の組み合わせの場合、加算結果も中間になります。

入力の周波数成分に応じて出力を増減するのが一般的なフィルタリングです。

— hotpaw2
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