ホワイトノイズの位相および振幅応答とは何ですか？

周波数領域でホワイトノイズを作成し、Pythonを使用して時間領域に変換します。問題を理解するために、時間領域でホワイトノイズを生成し、それを周波数領域に変換しました。

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

私は期待したようにまったく見ていない： 質問：

• ホワイトノイズの振幅応答はフラットになるはずではありませんか？（すべての周波数で等しい量）
• 標準偏差（私の例では1）と振幅と位相の関係は何ですか？

前もって感謝します！

ホワイトノイズの振幅応答はフラットになるはずではありませんか？（すべての周波数で等しい量）

ホワイトノイズの予想される振幅応答はフラットです（これはJasonRがパワースペクトル密度と呼んでいるものです）。ホワイトノイズシーケンスの特定のインスタンスは、正確にフラットな応答を持ちません（これは、JasonRのコメントがパワースペクトルと呼ぶものです）。

実際、ホワイトノイズのフーリエ変換は...ホワイトノイズです。

標準偏差（私の例では1）と振幅と位相の関係は何ですか？

標準偏差と位相の間に関係はありません。大きさについては、$n(t)$が平均0と標準偏差$\sigma$定常ホワイトノイズであると仮定します。自己相関（共分散）は次のとおりです。

$$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$$

したがって、パワースペクトル密度は$\sigma^2$（離散時間のために、信号の持続時間に基づいてスケーリングが存在するであろうが）。

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コメントからの質問：

1. フーリエ変換もホワイトノイズであると言う場合、変換が複雑な場合にstd-devを測定するにはどうすればよいですか？実数部、虚数部、またはそれらの組み合わせ？

ノイズは離散時間であり、$n[m]$$\sigma^2$

$$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$$

期待値は次のとおりです。

$$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$$

実部の分散は次のように与えられます。

$$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$$

虚数部も同じように振る舞うと思います。

2. 信号の持続時間がパワースペクトル密度にどのように関係するかを教えてください（離散時間の場合）

（上記の導出に基づいて）パワースペクトル密度（DFTの2乗の期待値）は、継続時間として線形にスケーリングすると考えています。

3. 位相がstd-devの影響を受けない場合、3度の振幅を決定するもの、および分布のタイプ（通常ではなく均一であるようです）

このPDFファイルの2ページの表をご覧ください。あなたが述べているように、それは係数の引数（位相）が均一に分散されると言います。以下に含まれる表のスクリーンショット。