平滑化用IIRフィルター（ローパスフィルター）

平滑化にIIRフィルターを使用しています

$$y[n] = ax[n]+(1-a)y[n-1]$$

私の質問は、別のIIRフィルターを追加した場合、それはIIRフィルターの2次になりますか？そうでない場合、それを何と呼ぶことができますか？

私の2番目のフィルターは

$$y_2[n] = ay[n] + (1-a)y_2[n-1]$$

2つのフィルターを直列カスケードに適用する場合、カスケードの動作は2つの異なる方法で表現できます。時間領域では、システム全体のインパルス応答は、とのインパルス応答を畳み込むことによって計算できます。IIRフィルターの場合、これはやや面倒な場合があります。$y[n]$$y_2[n]$

周波数ドメインでは、システム全体のドメイン伝達関数は、伝達関数とを乗算することで計算できます。これは通常、フィードバック付きのフィルターの場合、はるかに簡単な方法です。$z$$H_y(z)$$H_{y_2}(z)$

あなたのケースでは、2つのフィルタが実際と仮定し（同一の入力/出力関係を有するに入力され、。使用 -transformを、その見つけるのは簡単です。$y[n]$$y_2[n]$$z$

$$H_y(z) = H_{y_2}(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{a}{1 - (1-a)z^{-1}}$$

上記の関係を使用して、次のようにカスケード接続された2つのフィルターの伝達関数を計算できます。

$$H(z) = H_y(z) H_{y_2}(z) = \left(\frac{a}{1 - (1-a)z^{-1}}\right)^2$$

$$H(z) = \frac{a^2}{1 - 2(1-a)z^{-1} + (1-a)^2z^{-2}}$$

逆変換を簡単に使用して、2つのカスケードフィルターの差分方程式に戻ることができます。$z$

$$y_c[n] = a^2x[n] - 2(1-a)y[n-1]+(1-a)^2y[n-2]$$

検査により、ご想像のとおり、これは2次フィルター（）であることがわかります。$a \not= 1\ $

はい、2つの1次IIRフィルターの組み合わせを2次IIRフィルターと呼びます。2つの1次フィルターを組み合わせて2次フィルターを形成するプロセスは、カスケードと呼ばれます。