なぜ複素数はa + ibとして表され、（a、b）にはならないのですか？

単純に（x、y）として表すことができるのに、なぜ虚数のy軸で複素数を表す必要があるのか​​と混乱しています。

iによる乗算は、y軸上の1/4円の反時計回りの回転であると読みました。

1にiを掛けると、iになります。iにもう一度iを掛けると、別の四分円ができ、-1が得られます。したがって、-1を掛けると、半円の回転になります。それがi * i = -1の意味です。

それはどういう意味ですか？

私が方程式を解いていて、3iのような答えに終わったとしましょう。これは、時計回りに半円ずつx軸からy軸に移動したという意味ですか これを適切に視覚化することができませんでした

はい、信号処理では、あなたが言ったように、複素数は通常、複素平面上に視覚化されます。

その理由は、それらを平面に置くと、2つの重要な量を測定できるからです。

1）大きさであり、$\sqrt{x^2 + y^2}$

2）によって与えられるあなたのポイントと原点の間の位相角$\tan^{-1} \frac{y}{x}$。

単にポイントとして残した場合、（$x$、$y$）、それらを具体化してフレームワークを持つことはできません。

あなたは尋ねるかもしれません、なぜそれらの量が今度は重要なのですか？信号処理ではもちろん信号を扱い、物理的には「実際の」信号を扱います。ただし、素晴らしいコツですが、「実在の」生活における量の一定の振動（余弦波など）は、2つのフェーザーに相当し、複素平面上で反対方向に回転し、合計されます。このフレームワークを使用すると、位相角が互いに「相殺」され、その結果の大きさが「実際の」信号の大きさを与えることがわかります。

実際、これはオイラーの公式の1つが捉えているものです。あれは：

ここでは、振動する余弦波のような「現実の」世界の概念を、複雑な平面内で存在し、回転するときに、フェーザの「複雑な」世界と簡単に関連付ける方法を示しています。

これはDSPの基本石の1つです。

複素数の1つの定義では、記号 "a + ib"と "（a、b）"は、これらの記号に対する演算が複素数演算（回転を含む乗算を含む）のルールセットに完全に従う限り、同等の表現です。

その意味は、そのような算術規則を使用する複雑な算術は、実際には一連の定理と計算を単純化することです（多項式の根の解、無限級数の収束など）。実世界における実数のペアの動作は、そのようなルールの下で算術を使用するモデルによって、モデルで使用される計算記号と一致するように「虚数」の量の1つを呼び出すことによって、厳密に近似される場合があります。

数学の「トリック」であり、あまりにも役立たないので使用しないでください。たとえば、カルダノや他のルネサンス時代のイタリアの数学者は、複素数や虚数を使用せずに3次方程式を解こうとしましたが、そのため、その解決策はさらに長くなりました。

複素数について考える1つの方法は、 $i$ 仮想軸の方向の「単位ベクトル」として。

実際、後に単位ベクトルとして複素数を使用することで、クォンテニオンの基礎となりました。これは、ギブス / ヘビサイドによる最新のベクトル分析が開発される前のベクトル量を表すために使用されていました。