「確率的サンプリング」とはどういう意味ですか？

「確率論的サンプリング」とは正確に何を意味し、通常のナイキスト・シャノンサンプリング定理とは大きく異なりますか？確率的プロセスのサンプリングに関連していますか？

確率的サンプリングは、確率的波形のサンプリングとは関係ありません。これは、定期的にサンプリングするのではなく、波形がランダムにサンプリングされることを意味します。

リコールナイキスト-シャノンのサンプリング定理あたりのサンプリング方式では、連続的な信号こと上のようにサンプリングされた、ここで、はサンプリング間隔で、はサンプリング周波数です。信号の最大周波数である場合、次いでそのようなものでなければならないように回避するエイリアシング。後で回答の確率的サンプリングと比較しやすくするために、通常とは少し異なる形式でサンプリングを再定義します。$x(t)$$\mathbb{R}$$x[n]=x(nT),\ n\in\mathbb{Z}$$T$$f_s=1/T$$f_{max}$$f_s$$f_s\geq 2f_{max}$

$$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s\tau -1}\delta(t-nT)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$$ ここで、はディラックデルタ関数で、は区間のみサンプリングされます。$\delta(t)$$x(t)$$[0,\tau]$

実際に考えてみると、定期的なサンプリングは実際にはかなり制限されています。エイリアスはいくつかの場所で発生しますが、おそらくよく知られた目に見える効果は、テレビで表示される通常のパターンの写真を撮ることで自宅で再現できるモアレパターンです（下の例を参照）。

ただし、これは常にカメラの問題ですが、パターンを直接見る場合は決して目で見ないでください！その理由は、カメラのCCDとは異なり、網膜の光受容体が規則的なパターンで配置されていないためです。背後にあるアイデア（必ずしもその開発につながったアイデアではない）確率的サンプリングは、目の光受容体の不規則なレイアウトに非常に似ています。これは、サンプリングの規則性を壊すことで機能するアンチエイリアス技術です。

確率的サンプリングでは、信号のすべてのポイントがサンプリングされる確率がゼロではありません（特定のセクションがサンプリングされない通常のサンプリングとは異なります）。単純な一様確率的サンプリング・スキームは、同じ間隔で実施することが可能であるとして$[0,\tau]$

$$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s \tau -1}\delta(t-t_n),\quad t_n\sim \mathcal{U}(0,\tau)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$$

ここで、は区間の一様分布です。$\mathcal{U}(0,\tau)$$[0,\tau]$

確率的にサンプリングすることにより、「ナイキスト周波数」について話す必要がなくなるため、以前のようにエイリアシングは問題になりません。ただし、これには代償が伴います。アンチエイリアシングで得られるものは、システムのノイズによって失われます。確率的サンプリングは高周波ノイズを導入しますが、いくつかのアプリケーション（特にイメージング）では、エイリアシングはノイズよりもはるかに強い迷惑です（たとえば、上の画像でモアレパターンを簡単に見ることができますが、スペックルノイズはそれほどではありません） ）。

私の知る限り、空間サンプリング（画像処理、コンピューターグラフィックス、配列処理など）では確率的サンプリングスキームがほぼ常に使用され、時間領域でのサンプリングは依然として主に規則的です（人々が気にするかどうかはわかりません）時間領域での確率的サンプリングによる）。ポアソンサンプリング、ジッターサンプリングなど、いくつかの異なる確率的サンプリングスキームがあり、興味がある場合は検索できます。トピックの一般的で控えめな概要については、

MAZDippéとEH Wold、「確率的サンプリングによるアンチエイリアス」、SIGGRAPH、Vol。19、No。5、pp。69-78、1985