直線性の定義に関する問題

高校の数学から、y = mx + cは線形方程式であることがわかります。ただし、DSPでは、線形システムは+ cのためにy = mx + cが保持しない加算性プロパティを満たさなければなりません。では、直線性の定義はDSPと数学で異なりますか？もしそうなら、なぜ？ありがとう。

linear-systems

— ザヒドハサン
ソース

はい、ある意味で定義は異なります。私は2つの視点を示します。1つ目は鋭い観察をサポートし、もう1つは反対の証拠を提供します。これら2つは相互に競合しません。意味論の問題です。2つ目が混乱した場合は、1つ目をそのまま使用します。プレリュードが終わりました。

問題定義1： $y = mx + c$ 手段 $f(x)=mx+c$

ここでは、通常の視点で $y$ 上のいくつかの操作の出力であると見なされます $x$ 。これを関数と呼び、もう少し数学的な優雅さで同じ式を書くことができます。 $f(x)=mx+c$ 。今では明らかです $f(x)$ ある意味での数学的な操作の出力に関する $x$ は入力です。

線形性の基準を更新してみましょう。機能 $g(x)$ 線形であり、次の両方の条件を満たす。

$g(a+b) = g(a)+g(b)$ すべてのために $a$ そして $b$
$g(cx) = cg(x)$ すべての定数 $c$

明らかに、私たちのお気に入りの機能 $f(x)$ これらのプロパティのいずれも満たしていません。はい、この観点から $f(x)$ は線形関数ではありません。「リニア」に最も近いものは「アフィン」です。

QED

これで、答えのパート2を受け入れることができます。

問題定義2： $y = mx + c$ 手段 $L(x,y)=y-mx$

一度に一歩ずつ進みましょう。2つの線形方程式のシステムを解こうとしているとします。どうやってやるの？1つの方法は、次のように方程式を書き留めることです。

\begin{aligned} y & = m_{1} x + c_{1} \\ y & = m_{2} x + c_{2} \end{aligned}

$\begin{align} y &= m_1x + c_1\\y &= m_2x + c_2 \end{align}$

確かに、それは私たち全員が7年生以来それをしている方法です。今、あなたがしなければならないのは、置換またはあなたが好む方法でそれを解決することです。しかし、2つ以上の変数の方程式系がある場合はどうしますか？そのように書き留めますか？

\begin{aligned} y & = a_{1} x + c_{1} z + d_{1} \\ y & = a_{2} x + c_{2} z + d_{2} \\ y & = a_{3} x + c_{3} z + d_{3} \end{aligned}

$\begin{align} y &= a_1x + c_1z + d_1\\y &= a_2x + c_2z + d_2\\y &= a_3x + c_3z + d_3 \end{align}$

それは本当に正しくありません。そして、非常に正当な理由があります。任意の数の変数の関数を解釈するには多くの方法があり、異なるのはセマンティクスだけではありません。少し脱線するには、次の方程式を取ります $x^2+y^2=r^2$ 。ほとんどの人（つまり、このフォーラムにアクセス）は、それを円の方程式としてすぐに識別します。しかし、関数の定義を思い出してください！

と解釈すると $f(x) = \pm \sqrt{r^2-x^2}$ 円の上半分と円の下半分の2つの解が得られます。関数ではプロパティごとに違反するため、すべての入力に対して最大で1つの一意の出力があるため、円全体がソリューションになることはできません。

一方、それを次のように解釈すると $f(x,y)=r^2$ 、私たちはそれを定数に等しい2つの変数の関数として表示しているので、解全体として円全体を返します。つまり、同じ式を書いても $x^2+y^2=r^2$ 、話していることを定義する必要があります。それ以外の場合、この問題は明確に定義されていません。ある解釈ではそれは関数です $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 、別の解釈ではそれは関数です $f:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ 。高校のドメインと範囲についてつぶやいたことをすべて覚えていますか？ええ、これはまさにそれです。ここで、線形関数の神秘的なトピックに戻ります。

うまくいけば、この時点であなたはすでにあなたのああを持っています！瞬間。そうでなければ、ここに私たちのストレートフィニッシュがあります。よく見えなかった3つの方程式のシステムを覚えていますか？まず第一に、それはアフィンに見えることに注意してください、なぜなら変数に加えて $x$ そして $z$ 定数があります $d$ 同様に。この方程式系を書き留めるより良い方法は、次のようになります。

\begin{aligned} - a_{1} x + y + - c_{1} z & = d_{1} \\ - a_{2} x + y + - c_{2} z & = d_{2} \\ - a_{3} x + y + - c_{3} z & = d_{3} \end{aligned}

$\begin{align} -a_1x + y + -c_1z &= d_1 \\ -a_2x + y + -c_2z &= d_2 \\ -a_3x + y + -c_3z &= d_3\end{align}$

今、私たちはどこかに着いています。ご覧のとおり、次のようにマトリックス形式で書き出すことができます。

[\begin{matrix} - a_{1} & 1 & - c_{1} \\ - a_{2} & 1 & - c_{2} \\ - a_{3} & 1 & - c_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} -a_1 &1 &-c_1 \\-a_2 &1 &-c_2 \\-a_3 &1 &-c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}$

明らかに、これは方程式の線形システムです。キャッチはどこですか？さて、最初は次の形式の3つの機能のシステムのように見えました $f:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ 、そして今、それをフォームの単一の関数として表しています $f:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3}$ 。

明確にするために、これはベクトルを取り込む単一の関数です $\mathbb{R}^3$ そして別のベクトルを返す $\mathbb{R}^3$ 。この関数を呼び出しましょう $L(x,y,z)$ 、正確に $L:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3}$ 。この関数が線形であることを確認させてください。具体的には $\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}$ そして $\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_1 \\ \delta_2 \\ \delta_3 \end{bmatrix}$ , then

$\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x+\alpha \\ y+\beta \\ z+\gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d_1 + \delta_1 \\ d_2 + \delta_2 \\ d_3 + \delta_3 \end{bmatrix}$ , and
$\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} kx \\ ky \\ kz \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kd_1 \\ kd_2 \\ kd_3 \end{bmatrix}$

In other words (and yes, this is the real reason mathematicians keep constantly coming up with new concise notation!), let $\vec{u},\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ ( $\vec{u}$ and $\vec{v}$ and 3-dimensional vectors of real numbers). Then

$L(\vec{u}+\vec{v}) = L(\vec{u})+L(\vec{v})$
$L(k\vec{u}) = kL(\vec{u})$

Linear! Q.E.D.

In conclusion, we've explored mysterious subtleties of mathematics of functions and in particular the importance of defining problems well. The function $f(x) = mx + c$ is obviously non-linear (or more precisely affine), and the function $g(x,y) = y - mx$ is linear.

Come back for more interesting stuff. We like giving twisted answers to simple questions.

— Phonon
ソース

A simpler reason for calling

y = m x + c

$y=mx+c$ a linear function is that its graph is a straight line not necessarily through the origin, and at least in the elementary analytical geometry that most readers will have encountered in high school and first heard the name, it is far too complicated to have different names for straight lines that pass through the origin and those that don't.

— Dilip Sarwate

Wikipedia says this as Linear polynomials... I wonder why dont DSP books include this information!

— Zahid Hasan

@フォノン-素晴らしいプレゼンテーション。これは、今後の参考のために私のアーカイブに保管したい2番目のスタック交換回答です。

— user2718 2013

@BruceZenone math.SEで、彼らは彼らのメタサイトでよくある質問の一般化の質問リストを維持し、将来の参照のために保存された最良の回答のコレクションを持っています。おそらく、dsp.SE（ヒント、ヒント、モデレーターPhonon！）に同様のものが追加され、dspメタサイトのFAQ質問の構成などの質問への回答に役立つでしょう。

— Dilip Sarwate、2013