フーリエ変換がなぜそれほど重要なのですか？

信号処理を議論するとき、誰もがフーリエ変換について議論します。信号処理がなぜそれほど重要であり、信号について何を教えてくれますか？

デジタル信号処理にのみ適用されますか、それともアナログ信号にも適用されますか？

これは非常に広範な質問であり、信号処理において正確にフーリエ変換が重要である理由を正確に特定するのは非常に困難です。最も簡単な、手を振る答えは、非常に強力な数学ツールであり、異なるドメインで信号を表示できることです。その中で、いくつかの困難な問題の分析が非常に簡単になります。

工学および物理科学のほぼすべての分野でのその遍在は、すべて異なる理由により、理由を絞り込むことをいっそう難しくしています。いくつかの実用的な例と少しの歴史とともに、その普及につながったいくつかのプロパティを見て、その重要性を理解するのに役立つことを願っています。

歴史：

フーリエ変換の重要性を理解するには、少し後退して、ジョセフフーリエによって出されたフーリエ級数の力を理解することが重要です。簡単に言えば、ドメイン積分可能な周期関数は、正弦と余弦の無限和として次のように記述できます。D = [ - π 、π $g(x)$$\mathcal{D}=[-\pi,\pi]$

τ K =

$$g(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tau_k e^{\jmath k x}$$ $$\tau_k=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathcal{D}}g(x)e^{-\jmath k x}\ dx$$

ここで、。関数をその構成周波数（つまり、すべての周波数の正弦波と余弦波）に分解できるというこの考えは強力なものであり、フーリエ変換のバックボーンを形成します。$e^{\imath\theta}=\cos(\theta)+\jmath\sin(\theta)$

フーリエ変換：

フーリエ変換は、上記のフーリエ級数の非周期関数への拡張として見ることができます。完全性と明確性のために、ここでフーリエ変換を定義します。場合、連続的、積分信号であり、そのフーリエ変換、で与えられます。X （f $x(t)$$X(f)$

$$X(f)=\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-\jmath 2\pi f t}\ dt,\quad \forall f\in\mathbb{R}$$

そして、逆変換は

$$x(t)=\int_{\mathbb{R}}X(f)e^{\jmath 2\pi f t}\ df,\quad \forall t\in\mathbb{R}$$

信号処理の重要性：

何よりもまず、信号のフーリエ変換により、信号にどの周波数がどの割合で存在するかがわかります。

例：通話中に押すと、電話の各番号ボタンの音が異なり、すべての電話モデルで同じように聞こえることに気づいたことがありますか？これは、それぞれがボタンを一意に識別するために使用できる2つの異なる正弦波で構成されているためです。電話機を使用して組み合わせをパンチしてメニューをナビゲートする場合、相手が押したキーを知る方法は、入力をフーリエ変換し、存在する周波数を調べることです。

関係する数学を単純にするいくつかの非常に有用な基本的な特性とは別に、信号処理でこのような広範囲に重要性を持つ他の理由のいくつかは次のとおりです。

1. フーリエ変換の振幅2乗、は、特定の周波数で信号が持つパワーを即座に示します。 x （t ）$\vert X(f)\vert^2$$x(t)$$f$
2. Parsevalの定理（より一般的にはPlancherelの定理）から、 は、すべての時間にわたる信号の総エネルギーが、すべての周波数にわたる変換の総エネルギーに等しいことを意味します。したがって、変換はエネルギー保存です。 $$\int_\mathbb{R}\vert x(t)\vert^2\ dt = \int_\mathbb{R}\vert X(f)\vert^2\ df$$

3. 時間領域での畳み込みは、周波数領域での乗算と同等です。つまり、2つの信号および与えられた場合、$x(t)$$y(t)$

   $$z(t)=x(t)\star y(t)$$ ここで、は畳み込みを示し、フーリエ変換は単に$\star$$z(t)$
   $$Z(f)=X(f)\cdot Y(f)$$

   離散信号の場合、効率的なFFTアルゴリズムの開発により、ほとんどの場合、時間領域よりも周波数領域で畳み込み演算を実装する方が高速です。

4. 畳み込み演算と同様に、相互相関もとして周波数領域で簡単に実装できます。ここでは複素共役を示します。$Z(f)=X(f)^*Y(f)$$^*$

5. 信号を構成周波数に分割できることにより、特定の周波数をその寄与を無効にすることで簡単にブロックできます。

   例：サッカー（サッカー）のファンなら、南アフリカで2010年のワールドカップ中にすべての解説をdrれさせたブブゼラの絶え間ないドローンに悩まされているかもしれません。ただし、ブブゼラには〜235Hzの一定のピッチがあり、放送局がノッチフィルターを実装して問題のあるノイズを簡単にカットできるようにしました。^[1]

6. 時間領域でのシフト（遅延）信号は、周波数領域での位相変化として現れます。これは基本プロパティのカテゴリに分類されますが、実際には、特にイメージングおよびトモグラフィーのアプリケーションで広く使用されているプロパティです。

   例：波が不均質な媒体を通過するとき、媒体内の波の伝播速度の変化に応じて、速度が低下および加速します。したがって、予想されるものと測定されたものからの位相の変化を観察することにより、媒体内の波の速度がどれだけ変化したかを示す過剰な時間遅延を推測できます。これはもちろん、非常に単純化された素人の説明ですが、断層撮影の基礎を形成します。

7. 信号の微分（n ^番目の微分も）は、フーリエ変換を使用して簡単に計算できます（106を参照）。

デジタル信号処理（DSP）対アナログ信号処理（ASP）

フーリエ変換の理論は、信号が連続的であるか離散的であるかに関係なく、「素敵」で完全に積分可能である限り適用できます。はい、ASPは信号がこの基準を満たす限り、フーリエ変換を使用します。ただし、ASPで一般化されたフーリエ変換であるラプラス変換について話す方がおそらく一般的です。ラプラス変換は次のように定義されます

$$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\ dt,\quad \forall s\in\mathbb{C}$$

利点は、フーリエ変換のように必ずしも「素敵な信号」に限定されないことですが、変換は特定の収束領域内でのみ有効です。LC / RC / LCR回路の研究/分析/設計で広く使用されており、LC / RC / LCR回路はラジオ/エレクトリックギター、ワウペダルなどで使用されています。

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これは私が今考えることができるほとんどすべてですが、信号処理および科学/工学におけるフーリエ変換の真の重要性を完全に把握できる量の記述/説明はないことに注意してください

Lorem Ipsumのすばらしい答えは、一つのことを逃しています。フーリエ変換は、信号を構成する複素指数に分解します。

$$e^{\jmath \omega t}$$

そして、複素指数は、固有関数のための線形、時間不変システム。

$H$$\phi$$A$

$$y = H[e^{\jmath \omega t}] = A e^{\jmath \phi} e^{\jmath \omega t}$$

したがって、フーリエ変換は、線形で時不変のシステムを分析するための便利なツールです。

もう一つの理由：

それはだ速く、そのために、（畳み込み用などに便利）linearithmic時間の複雑さ（の具体的には、そのFFT）。
もしそうでなければ、おそらく時間領域でより多くのことを行い、フーリエ領域ではより少ないことをするだろうと私は主張します。

編集：人々は私にFFTが速い理由を書くように頼んだので...

余分な作業を巧みに回避するためです。

$a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_nx^n$$b_0 x^0 + b_1 x^1 + \ldots + b_nx^n$

$n^2$

ただし、一見平凡な観測を行うことができます。2つの多項式を乗算するために、係数をFOILする必要はありません。代わりに、（十分な）数の点で多項式を単純に評価し、評価された値の点ごとの乗算を行い、補間して結果を取得することができます。

$n$$2n$$\approx n^2$

しかし、正しくやれば、そうなります！「正しい」点で評価する場合、一度に多くの点で単一の多項式を評価することは、それらの点で個別に評価するよりも高速です。「正しい」ポイントとは何ですか？

$z$$z^n = 1$

ユニティの逆根を使用するだけで、ポイントを補間して結果の多項式係数を取得するための非常に類似したプロセスを実行できます。

$n \log n$$n^2$

したがって、FFTを使用して一般的な操作（多項式乗算など）をはるかに高速に実行できることが有用であり、MITの新しいスパースFFTアルゴリズムの発見に人々が興奮している理由でもあります。

$e^{kx}$$\frac{d^n}{dx^n}$$k$$k$

$e^{kx}$

編集：実際のところ、微分（および積分）演算子はLSIV演算子です。こちらを参照してください。

このスレッドの他の回答のいくつかには、フーリエ変換の定義と特性に関する優れた数学的議論があります。オーディオプログラマーとして、なぜそれが私にとって重要なのかについて、私自身の個人的な直感を提供したいだけです。

フーリエ変換により、他の方法では答えることが困難または不可能な音に関する質問に答えることができます。難しい問題が簡単になります。

録音には、3つの音符のセットが含まれます。メモは何ですか？時間の経過とともに一連の振幅として記録を残す場合、これは簡単な問題ではありません。時間の経過とともに記録を一連の周波数に変換すると、非常に簡単です。

継続時間を変更せずに録音のピッチを変更したい。どうすればいいですか？入力信号の振幅を操作するだけで可能ですが、簡単ではありません。しかし、信号を構成する周波数を知っていれば簡単です。

この録音には音声が含まれていますか、それとも音楽が含まれていますか？振幅ベースの方法のみを使用して行うのは非常に困難です。しかし、ほとんど常にフーリエ変換とそのファミリーに基づいて正しい答えを推測する良い解決策があります。

フーリエ変換の離散バージョンを使用して録音を変換することにより、デジタルオーディオ録音についての質問のほとんどすべてが簡単になります。

実際には、最新のデジタルオーディオデバイスはすべて、フーリエ変換に非常によく似た機能に大きく依存しています。

繰り返しますが、非常に非公式の説明はご容赦ください。これは、フーリエ変換が重要である理由に関する私の個人的な直感にすぎません。

他の人々は素晴らしい、役に立つ答えを出しました。信号について考えてみてください。時間領域ではなく、その周波数（およびその位相）だけを気にします。これが最終的または完全な答えであることはわかりませんが、フーリエ変換が有用な理由の1つにすぎません。

信号がある場合、サンプリングレートに応じて、無限の（またはそれに近い）数の周波数で構成される可能性があります。しかし、そうではありません。ほとんどの信号の周波数が可能な限り少ないこと、または十分に高いレートでサンプリングしていることはわかっています。

私たちがそれを知っているなら、なぜそれを使用できないのですか？それが、圧縮センシングの分野で行われていることです。彼らは、最も可能性の高い信号が、エラーが最も少なく、周波数が最も少ない信号であることを知っています。そのため、測定値に対する全体的な誤差とフーリエ変換の大きさを最小化します。

いくつかの周波数の信号は、多くの場合、最小限のフーリエ変換、またはほとんどゼロ（圧縮センシングで言う「スパース」とも呼ばれます）を持っています。たとえば、ある周波数の信号は、変換としてデルタ関数を持っています。

正式な数学的定義も使用できます。

$\bar{x} = \textrm{arg min } ||y-Ax|| + \lambda||F(x)||$

$||\cdot||$$||\cdot||$

• $\bar{x}$
• $y$
• $A$
• $x$
• $\lambda$
• $F(x)$

良い表現を得るには、最高周波数の2倍で測定する必要があるとナイキストが言ったことを思い出してください。まあ、それはあなたの信号に無限の周波数があると仮定していました。私たちはそれを乗り越えることができます！

圧縮センシングの分野では、ある領域でほとんどゼロ（またはスパース）の信号を再構築できます。それは、フーリエ変換の場合です。

フーリエ変換の主な重要性は、システム分析にあります。私たちの宇宙の主な構成要素は真空であり、真空は基本的に線形で時不変のフィールドのキャリアです：異なるフィールドはそれぞれのベクトルを追加することで重ね合わせられ、特定のフィールドの適用を繰り返しても結果は同じです。

結果として、物理的問題を含む多くのシステムは、線形で時不変のシステムとして振る舞うのが良い近似になります。

このようなLTIシステムは「インパルス応答」によって記述でき、時間分散信号への応答は、信号とインパルス応答を畳み込むことによって記述されます。

畳み込みは可換で連想的な操作ですが、計算上および概念上非常に高価です。ただし、関数の畳み込みはフーリエ変換により区分的乗算にマッピングされます。

つまり、線形時不変システムの特性とそれらの組み合わせは、フーリエ変換後の記述と操作がはるかに優れています。

その結果、「周波数応答」のようなものは、多くのシステムの動作を記述するのに非常に特徴的であり、それらを特徴付けるのに役立ちます。

高速フーリエ変換は、理論上はしっかりとルーティングされていますが、結果がフーリエ変換として実際に合理的に解釈できないため、「フーリエ変換とはまったく異なりますが、まったく異なります」クラスに属します。それらは、変換間隔の周期性を持つサンプリングされた信号について話す場合にのみ、フーリエ変換に完全に対応します。特に、「周期性」の基準はほとんど常に満たされていません。

重複するウィンドウ関数の使用など、それを回避するためのテクニックがいくつかあります。

ただし、FFT は、正しいことを行うときに離散時間畳み込みを行うために使用できます。これは、多くのことに役立つ効率的なアルゴリズムです。

巨大な数や多項式を掛けるときのように、高速畳み込みを行うために、基本的なFFTアルゴリズムを数論変換（複雑な「実数」ではなく離散数フィールドで機能する）に使用することもできます。この場合、「周波数領域」は基本的にすべての入力のホワイトノイズと区別できず、逆変換を再度行う前に有用な解釈はありません。

フーリエ変換の物理的関連性は、信号に存在する周波数の相対的な振幅を示すことです。離散時間信号と連続時間信号の両方に対して定義できます。任意の信号は、多くの高調波周波数の混合として表すことができます。フーリエ変換は、特定の周波数範囲のみが必要なフィルターアプリケーションで役立ちます。次に、信号に含まれる周波数の振幅を知る必要があります。