「複雑なサンプリング」はナイキストを破壊できますか？

複雑な信号のサンプリングはナイキストのサンプリングレートに従う必要はないが、実際には半分のナイキストサンプリングレートで除去できるという逸話を聞いたことがあります。これに何か真実があるのだろうか？

ナイキストから、信号を明確にサンプリングするには、少なくともその信号の帯域幅の2倍以上の帯域幅をサンプリングする必要があることがわかっています。（ここで、Wikiリンクで行うように帯域幅を定義しています。別名、正の周波数の占有率です）。つまり、信号が-BからBに存在する場合、ナイキストを満たすために少なくとも2 * B以上をサンプリングする必要があります。この信号をfcまで混合し、バンドパスサンプリングを行いたい場合、少なくとも4 * B以上をサンプリングする必要があります。

これは、実際の信号に最適です。

私の質問は、複雑なベースバンド信号（別名、周波数スペクトルの片側にのみ存在する信号）を少なくとも2 * B以上のレートでサンプリングする必要はないが、実際にはできるというステートメントに真実があるかどうかです。少なくとも> Bのレートで適切にサンプリングされていますか？

（これが当てはまる場合、これは単なるセマンティクスであると考えがちです。なぜなら、回転フェーザーを完全に表すためにサンプル時間ごとに2つのサンプル（1つは実数、1つは虚数）を取得する必要があるためです。これにより、厳密にナイキストに引き続き従います。 ）

あなたの考えは何ですか？

あなたの理解は正しいです。レートでサンプリングする場合、実際のサンプルのみで、領域周波数成分を明確に表すことができます（ただし、バンドパスサンプリングを許可する警告が適用されます）。実信号は周波数領域で共役対称性を示すため、サンプルが実数である場合、スペクトルの残りの半分には追加情報を保持できません。信号が本物であり、からスペクトルを知っている場合、そのスペクトルの残りの半分が何であるかを簡単に結論付けることができます。$f_s$$[0, \frac{f_s}{2})$$0$$\frac{f_s}{2}$

複雑な信号にはこのような制限はないため、レートサンプリングされた複雑な信号には、からまでのコンテンツを明確に含めることができます（合計帯域幅）。ただし、前述のように、各複雑なサンプルには2つのコンポーネント（実数部と虚数部）が含まれているため、ここでは固有の効率の改善はありません。すぐに利益を得る。ただし、複雑な信号は信号処理でよく使用されますが、その構造にうまくマッピングできない問題がある場合（直交通信システムなど）。$f_s$$-\frac{f_s}{2}$$\frac{f_s}{2}$$f_s$

これを説明する簡単な方法もあります。実際のベースバンド信号のスペクトルが-Bから+ Bの場合、2Bでサンプリングするため、スペクトルのスペクトルの繰り返しが重ならないようにします。オーバーラップとは、エイリアスが発生し、元のスペクトルを再構築できないことを意味します。

複雑な信号では、Jasonが述べたように、スペクトルの範囲は0〜Bです（理論的には負の周波数でもスペクトルを持つことができますが、ほとんどの場合、0〜Bの範囲になります）。レートB、元のスペクトルには負の周波数に部分がないため、スペクトルの繰り返しは重複しません->明確な再構成が可能です！

信号のデジタル化レートを選択する目的とともに、個々の実際のサンプルの数が適切に明確化されていないという意味で、これは修飾された「いいえ」と言えます。

まず、すべての実世界の信号は複雑ではなく実数です。つまり、複雑な表現に直面したときはいつでも、実際には2つの（実際の）データポイントがあり、それらを「ナイキスト」制限に含める必要があります。

2番目の問題は、ベースバンドから認識される「負の周波数」です。ほぼすべてのサンプリングティーチングはベースバンドの観点から行われるため、周波数は0..Bになる傾向があり、その後fsでサンプリングされます。負の周波数は無視されます（複素共役IDを使用）。

ベースバンド信号をゼロ周波数で変調されていると考えることができますが、2つの側波帯と（数学的な）複素数項キャリア。以前は負の周波数がシフトしました。そして、我々はもはや複雑な共役アイデンティティを持たないかもしれません。

複素共役のアイデンティティが排除された場合、周波数の折りたたみはなくなり、エイリアシングを簡単にラップできます。

したがって、折りたたむことなく複素表現の復調を提供するためにサンプリングされるHF実信号がある場合、何らかの意味でfs / 4帯域幅（+/- B）になります。4つのデータサンプル（0、90、180、270度）ごとに、複雑なサンプル全体の同相（0-180）および直交（90-270）成分を表す2つの値を出力します。

完全に複雑な世界では、信号が複雑な場合、サンプリング周波数は複雑になり、2倍の項が生じます。それは、サンプリングされた信号から必要な数学的特徴に依存します。