さまざまなFT（CFT、DFT、DTFT、フーリエ級数）の最も明快で直感的な説明は何ですか？

30

かなり長い間これらを研究した後でも、[しばらく連絡を取り合っていない場合]それらがどのように関係しているか、またそれぞれが何を意味するのかを忘れがちです。直感的で数学的に美しい説明が出てくることを願っています。永遠に私の記憶に埋め込まれ、このスレッドは私（または他の誰か）が必要とするときはいつでもすぐにリフレッシュできるようになります。

fourier-transform

— ヴィグネシュ
ソース

2

おそらくフーリエ級数で開始する必要があります

— エンドリス

ポントリャーギンの二重性に精通していますか？

— ロレムイプサム

@yoda-いいえ。詳しく説明してください。または良い参考文献を教えてください。[もちろんグーグルアウトします。]

— Vighnesh

1

「Steve on Image Processing」：フーリエ変換はまさにこの問題に対処します。

— nobar

ここで答えを書き換える必要はありません（必要でない限り）。しかし、可能な答えはで与えられている特殊なケースとして、残りを変換して処理するフーリエ変換することができます私の研究の連続時間 @LoremIpsumが提案しポントリャーギン双対トラック以下

— ローラン・デュバル

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オッペンハイムとウィルスキーを補完するものとして、この配布物を書きました。見てみてください表4.1以下に再現、14ページ。（クリックすると大きな画像が表示されます。）あなたのような質問に答えるために、私はその表を書きました。

4つの操作の類似点と相違点に注意してください。

「シリーズ」：時間的に周期的、周波数的に離散的
「変換」：時間は非周期的、周波数は連続的
「連続時間」：時間は連続、周波数は非周期的
「離散時間」：離散的な時間、周期的な周波数

これらのメモがお役に立てば幸いです！自由に配布してください。

— スティーブ・チョア
ソース

1

良い要約。上記の表で参照されている「離散時間フーリエ級数」は、通常、離散フーリエ変換（DFT）と呼ばれます。

— ジェイソンR

少し選ぶと、この答えは確かにジェイソンRが言うように良い要約であり、dsp.SEで永続的に保持する価値があるので、誰もが将来の参照のためにリンクできるようになっていますが、尋ねられた質問には本当に反応しません以下のための直感的なこれらの問題（明快には、おそらく追加のボーナスであることと、それがタイトルにではなく、質問の本文に記載されているので、絶対にreqjuiredない）の説明。

— ディリップサルワテ

2

Steveの素晴らしい反応-これがOPが探しているものだと思います。短く、甘い、そして要点まで。

— スペイシー

配布資料の2ページ目の下部にある誤記ですか？それは述べられています：。意味していませんでしたか？

x (t) b (t - t_{0}) = x (t_{0}) b (t - t_{0})

$x(t)b(t-t_0)=x(t_0)b(t-t_0)$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) b (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}x(t)b(t-t_0)dt = x(t_0)$

— mbaitoff

1

誤植ではありません。あなたの声明は両方とも真実ですが、ガイドのそのセクションでは単位衝動の基本的な公理的定義を説明しているので、私は最初のものを書くつもりでした。2番目のステートメントは、これらの定義から派生します。。

\int_{\infty}^{\infty} x (t) δ (t - t_{0}) d t = \int_{\infty}^{\infty} x (t_{0}) δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0}) \int_{\infty}^{\infty} δ (t - t_{0}) d t = x (t_{0})

$\int_{\infty}^{\infty} x(t)\delta(t-t_0) dt = \int_{\infty}^{\infty} x(t_0)\delta(t-t_0) dt = x(t_0) \int_{\infty}^{\infty} \delta(t-t_0) dt = x(t_0)$

— スティーブTjoa

9

これらの概念を明快かつ正確に説明するには、標準的な教科書（オッペンハイムシェーファー、プロアキスマノラキス、またはリチャードライオンズによる「Understanding Digital Signal Processing」を参照する必要があります）。しかし、コーヒーテーブルでの議論を想定して、私は以下のいくつかの非常に緩やかな声明を発表します。:)

一般的な連続時間信号の場合、特定の周波数が存在しないとは思わないため、そのフーリエ変換（または連続フーリエ変換）は、おそらく-infから+ infをサポートする連続曲線になります。

周期的連続信号（周期T）の場合、フーリエは、同じ周期（T、T / 2、T / 3、T / 4、...）を持つ正弦波と余弦波の組み合わせとして信号を表現しました。事実上、この信号のスペクトルは、1 / T、2 / T、3 / T、4 / Tなどの位置での一連のスパイクです。これは、フーリエ級数表現と呼ばれます。平均平方の意味でより多くのサインとコサイン（または複素指数）を含めると、周期的な連続時間信号のフーリエ級数表現は信号に収束するという定理があります。

これまでの道徳：時間の周期性=>スパイクスペクトル

離散時間に...連続時間信号をサンプリングするとどうなりますか？十分に高い信号では、信号を再構築できないことは明らかです。信号の周波数について何も仮定しない場合、サンプリングされた信号が与えられると、真の信号が何であるかを言うことはできません。つまり、離散時間信号では異なる周波数が同等に表されます。いくつかの数学を調べると、元の連続信号からサンプリングされた信号のスペクトルを取得できることがわかります。どうやって？連続時間信号のスペクトルを+ -1 / T、+-2 / T、...の量だけシフトし、シフトされたすべてのコピーを追加します（スケーリングを使用）。これにより、周期1 / Tで周期的な連続スペクトルが得られます。（注：時間内のサンプリングの結果としてスペクトルは周期的であり、時間信号は tは周期的である必要があります）スペクトルは連続的であるため、その周期の1つだけで表すこともできます。これはDTFT（「離散時間」フーリエ変換）です。元の連続時間信号の周波数が+ -1 / 2T以下の場合、スペクトルのシフトされたコピーは重なり合わないため、スペクトルの1つの周期を選択することで元の連続時間信号を復元できます（ナイキストのサンプリング定理）。

覚えておくもう1つの方法：尖った時間信号=>スペクトルの周期性

サンプリング期間T / kでkの連続時間周期信号をサンプリングするとどうなりますか？まあ、連続時間信号のスペクトルはとがっていてスパイキーであり、Tの約数でサンプリングすると、シフトされたコピーのスパイクが1 / Tの倍数に正確に当たるため、結果のスペクトルはスパイキーな周期スペクトルになります。スパイキー周期信号<=>スパイキー周期スペクトル（周期とサンプリング周波数が上記のように「適切に関連している」と仮定）。これはDFT（離散フーリエ変換）として知られています。FFT（高速フーリエ変換）は、DFTを効率的に計算するアルゴリズムのクラスです。

DFTの呼び出し方法は次のとおりです。N個のサンプルのシーケンスを時間内に分析するとします。DTFTを使用してその周期の1つを処理することもできますが、信号が周期Nで周期的であると仮定すると、DTFTはDFTに減少し、信号を完全に特徴付けるDTFTの1周期のN個のサンプルのみがあります。時間内に信号をゼロ詰めして、スペクトルのサンプリングをより細かくすることができます（さらに多くのそのようなプロパティ）。

上記のすべては、DSPの研究を伴う場合にのみ役立ちます。上記は非常に大まかなガイドラインです。

— rk2
ソース

7

ましょ周期有界関数示すすべての実数のため、である、、。特定の例として、はそのような関数です。なるように係数を選択したい場合、この関数の「最良の」近似を見つけたい二乗誤差をできる限り小さくあります。被積分関数を展開すると、 $x(t)$ $T$ $t$ $x(t+T) = x(t)$ $\cos(2\pi t/T)$ $a_n\cos(2\pi nt/T)$ $a_n$

\int_{0}^{T} (x (t) - a_{n} \cos (2 π n t / T))^{2} d t,

$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$

squared error = \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \int_{0}^{T} \cos^{2} (2 π n t / T) d t .

$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$ 一番左の積分は 1周期で伝達されるエネルギーあり、一番右の積分は値であるため、今。ため、二次関数で最小値を有する（根の間の中間！！）そして、二乗誤差を二次関数として表したため、二乗誤差を最小化するの選択は

E

$E$

x (t)

$x(t)$

T / 2

$T/2$

squared error = E - 2 a_{n} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t + (a_{n})^{2} \frac{T}{2} .

$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$

a > 0

$a > 0$

a z^{2} + b z + c

$az^2 + bz + c$

z = - b / 2 a

$z = -b/2a$

(- b / 2 a) \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} / 2 a

$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$

a_{n}

$a_n$

a_{n}

$a_n$

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \cos (2 π n t / T) d t .

$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$ 同様に、をすると、と間の二乗誤差が最小になります。したがって、フーリエ級数は、同じ周期の正弦および余弦信号とその高調波に関して、周期関数の最小二乗誤差近似を見つけるための安価なトリックにすぎないことがわかります。

b_{n}

$b_n$

b_{n} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} x (t) \sin (2 π n t / T) d t

$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$

x (t)

$x(t)$

b_{n} \sin (2 π n t / T)

$b_n\sin(2\pi nt/T)$

x (t)

$x(t)$

— ディリップ・サルワテ
ソース

4

Endolithが正しいのは、実際にフーリエ級数から始めて、それがフーリエ変換にどのように拡張されるかを見ると、物事が多くの意味を持ち始めることです。この答えの前半でこれについて簡単に説明します。

フーリエ変換ファミリ（つまり、上記の4を意味します）を確認する（おそらく簡単ではない）良い方法は、Pontryagin双対性ゴーグルを使用することです。これにより、元のドメインと変換されたドメインによるさまざまな変換を思い出すことができます。

複素数値関数（FTが存在するために必要な他の条件を想定）の場合、そのフーリエ変換も複素数値関数です。スペースはポントリャーギンの自己双対であり、ファミリ全体の変換が元のドメインと変換されたドメインの両方としてを持っている場合、それはフーリエ変換（またはCFT、あなたはそれを呼んだ）。 $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

数値の複素数値シーケンスは、上の周期的な複素数値関数として見ることができます。これは、グループを法とする循環整数です（詳細については、有限アーベル群を参照してください）。このシーケンスの変換には、ドメイン（自己双対）もあり、これは離散フーリエ変換です。 $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

単位円のドメイン（絶対値1のすべての複素数。円グループも参照）および整数のセットは、互いにポントリャーギン双対です。最初の2つと同様に、からへの変換が存在し、離散時間フーリエ変換と呼ばれます。逆に、すべてが開始されるフーリエ級数です。 $\mathbb{T}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{T}$

この答えは完全には完成していないので、時間があるときにいくつかの点を明確にするためにこの答えに基づいて構築することもありますが、それまでは、他の人からより直感的な説明が得られるまで、これを噛む必要があるかもしれません。また、ウィキペディアでフーリエ解析のバリエーションを読んでみてください。

— ロレムイプサム
ソース

3

何よりも重要なのは、なぜフーリエ変換が必要なのかを根本的に理解することだと思います。これらは多くの可能な信号変換の1つですが、最も有用な変換の1つでもあります。変換は基本的に信号を別のドメインに変換します。これにより、そのドメイン内の信号についての洞察が得られるか、ドメインが数学的に簡単に機能する可能性があります。そのドメインでの作業が完了したら、逆変換を使用して、目的の結果をより簡単に取得できます。

フーリエ理論の最も基本的な構成要素は、単調（正弦と余弦）です。フーリエ計算を使用して、信号をその周波数成分（単調）に分解できます。そのため、フーリエ変換は基本的に信号を時間領域から周波数領域に変換します。フーリエ級数の各単調の係数は、信号内のその周波数成分の強さを示しています。フーリエ変換（CFT、DFT）は、信号の周波数領域ビューを明示的に提供します。自然界では、正弦波と余弦波が顕著な波形です。方形波のような合成信号、または急激なゆらぎを持つ信号は、自然に発生する可能性が低く、フーリエ変換によって非常に明確に説明されるように、無限の周波数範囲で構成されます。人々は、サイン/コサインの合計として信号を書くことができるかどうか疑っていました。フーリエは方形波（正弦/余弦から遠く離れている）が実際に表示されることを示しました。ホワイトノイズには、同じ強度のすべての周波数が含まれます。

また、フーリエ級数で作業している場合、位相項に沿った係数は、構成正弦波を適切に重ね合わせるために必要な係数と見なすことができるため、重ね合わせは実際に変換を行う必要な信号になります。フーリエ変換を使用する場合、複素数には暗黙的に各単調の位相項と必要な大きさが含まれます。（積分はおおよそ合計に似ています。連続=>積分、離散=>合計）

概念のテーマを理解したら、残りはすべて、本を読んで理解しなければならない詳細にすぎないと思います。さまざまな分野へのフーリエ変換の適用について読むと、より良い知覚が得られます。

— アビシェーク
ソース

2

DFTは、1つの直交空間から別の空間への数値ペアのベクトルの変換です。数値計算として非常に一般的に行われます。なんらかの理由で、現実世界から1束の数字を取り出すとき、2番めの数字はしばしば非常に有用なものに十分に近いことが判明します。

自然科学における数学の不合理な有効性、特にDFTをさまざまな種類の2次微分方程式で近似した多くのシステムに適用することについて思い出しました。コーヒースプーンの音でさえも。

他の3つのXYZ-FTは、コーヒーが冷たくなる前にシンボリックソリューションがホワイトボードに収まるように、いくつかの神話上の無限エンティティの存在について仮定します。それらは信号処理の「球形の牛」です。DTFTおよびフーリエ級数は、他のエンティティの無限密度を犠牲にして、1つのベクトルを無限に拡張できるふりをします。フーリエ級数は、両方のエンティティが無限連続関数になり得ることを装います。

十分な数学のコースを取り、これらの架空のエンティティを何らかの意味で正確かつ完全な双対にするために必要なすべての定義と仮定を決定するかもしれません。

— hotpaw2
ソース

最初の文の「直交空間」とはどういう意味ですか？に直交する空間とは何ですか、またはその空間に形容詞「直交」を付与することによって他の従来の空間と区別する特別な特性は何ですか？

— ディリップサルワテ

ベクトル空間のより正確な用語は「直交」でしょうか？

— hotpaw2

私は一般に、ベクトルまたは行列の小さなコレクションに形容詞として適用される「直交」と「直交」を見てきました。とは、に直交し、さらに正規直交性はベクトルの単位長さを必要とします。行列は、が対角行列の場合、直交と呼ばれ、が単位行列の場合、正規直交と呼ばれます。い、直交または正規直交スペースがあることを意味すべての空間でのベクトルは互いに直交しているか、直交しており、あまりにも単位長さを持っていますか？もしそうなら、そのようなスペースの例を挙げることができますか？

x

$\mathbf x$

y

$\mathbf y$

⟨ x, y ⟩ = 0

$\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=0$

A

$A$

A A^{T}

$AA^T$

A A^{T}

$AA^T$

— ディリップサルワテ

DFTアパーチャ長で正確に周期的なすべてのサインまたはコサイン間のドット積は、同一の周波数関数を除いてゼロです。Nがバッグ内のコーヒー豆の数より大きい場合でも。正規直交の単位振幅にします。

— hotpaw2

あなたの空間は、複素数のベクトルの空間です（「数値のペアのベクトル」と言ったため）。ありません何の空間での正弦と余弦が、唯一のの複素数のタプル、および任意の直交または正規直交セットなどの -vectorsを含むことができ、最大でなどタプル。上記のコメントと、場合によっては回答全体を削除することをお勧めします。

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$

N

$N$

— ディリップサルワテ