一連の入力信号と出力信号から線形システムのインパルス応答を推定する方法は？

これらの種類の問題を解決する方法を知りたいです。

以下の線形システムを考えます。システムへの入力が、、場合、システムの応答は、図のように、、です。$x_1[n]$$x_2[n]$$x_3[n]$$y_1[n]$$y_2[n]$$y_3[n]$

1. システムが時不変かどうかを判断します。正解です。

2. インパルス応答とは何ですか？

編集： 与えられた入力がようなスケーリングされたインパルスを含まない一般的なケースを想定しています$x_2[n]$

因果関係やそれの欠如について何が変わっているのかはわかりません。線形代数を考えるだけでこの問題に取り組むことができます。は線形変換です。入力にを適用することは、単なる行列の乗算です。したがって、がインパルスの 場合、列を選択するだけなので、の列はインパルス応答です。もちろん、を5x5行列として完全に決定するには、3つの入出力ペアでは不十分です。$L$$L$

この観点から時間不変性が何を意味するかを考えてみましょう。変換が線形で時間不変の場合、そのインパルス応答は常に同じ形状を持ち、入力インパルスと同じ量だけ時間的にシフトされます。のインパルス応答が0 1 2 3 0であり、入力インパルスの上に中心がある（したがって、因果関係がない）としましょう。線形時不変の行列は、次のようになります $L$$L$

したがって、最初の質問に答えるには、2つの列を十分に構築して、それらが異なることを確認して、時間不変性を反証する必要があります。これを行う直接的な方法は、それが時間不変であると仮定し、矛盾を導き出すことです。ただし、それが時間不変であることを示すには、より多くの情報が必要です。つまり、行列を完全に指定する必要があります。それが時間不変でない場合、他の人が言及したように、単一のサンプルではなく、各サンプルに対して潜在的に異なるインパルス応答があります。

最終的に、他の人が言及したように、線形システムが時間不変であるかどうか、またはそれがインパルス応答であるかどうかは、詳細な情報なしで短い入出力ペアを見ただけでは実際にはわかりません。私たちが知っているすべてのことについて、は1,000,000幅のFIRフィルター、またはちょうど中央付近でたまたま0であるIIRフィルターです。または、これまでのところ時間不変に見えますが、次のサンプルで変化します。一般的に、複数の仮説検定を使用して、証拠が最もよくサポートするものを選択する必要があります。確率論は信号処理の重要な部分です。$L$

現在なくなっている画像があるようですので、何か欠けているかもしれません。

1. システムが不変であるかどうかを宣言するには、入力の遅延が出力の遅延のみをもたらすかどうかを確認する必要があります。
   あなたの場合、入力はなどをますか...$x_1[n-m]$$y_1[n-m]$

2. 入力信号が帯域制限されており、その帯域幅がシステムよりも小さい場合、インパルス応答を復元することはできません。
   入力にエネルギーがある周波数でのみ応答を取得
   できます。これは、入力と出力の周波数分析によって行うことができます。
   システムが実際にLTIである場合、入力と出力の間の接続は、インパルス応答とのたたみ込みによって与えられます。
   たたみ込みは周波数領域での乗算であるため、インパルス応答を簡単に取得できます（ここでも、入力にエネルギーがある周波数でのみ）。

更新

これは、たたみ込みの可換性を示す良い例です。

以来、あなたが役割を切り替えることができます「システム」と「入力信号」の間。 したがって、この質問は、既知の出力とシステム応答を考えると同等です。システムの入力をどのように推定できますか？ まあ、これはデコンボリューションと呼ばれる既知の問題で、ノイズがない場合は簡単に解決できます。 $y \left[ n \right] = \left( h \ast x \right) \left[ n \right] = \left( x \ast h \right) \left[ n \right]$

上記のように、そのための1つの方法は、問題を行列形式で記述します。