特定のパルス長が与えられた場合、理想的なFIR長はどのくらいですか？

フィルター処理しようとしているノイズのあるウィンドウ処理された正弦波のパルス長を考慮して、「理想的な」FIRフィルターの長さを確認しようとしています。 $T_p$

私が設計するFIRフィルターへのパラメーターとして、私は以下を持っています。

$F_c = 15 \text{ kHz}$ 、中心周波数。（これは信号のキャリア周波数です）。私はこれを知っている。
これはBPF FIRなので、通過帯域をからます。これは、ウィンドウ処理された正弦波の帯域幅が $F_{c} - \frac{1}{T_p}$ $F_{c} + \frac{1}{T_p}$ $\frac{2}{T_p}$
正確にどのように正確にわからない最後のパラメーターは、このFIRの長さです...これは私が失われるところです。ここでの理想的な長さ（ある場合）は...パルスの長さ（もちろんサンプル数）だけにする必要があります。これにより、一致したフィルターに似たものになりますか？これは、フィルター長を長くしてもそれ以上の利益がないことを意味しますか？

さらなるコンテキストとして、私はこの「理想的な」長さを求めています。それは、存在する場合、できるだけ多くのノイズを除去しようとしているだけでなく、鋭いトランジェントを維持するためにも最善を尽くしています。これは私が尋ねるようになったものです、最初から理想的なフィルター長はありますか？たとえば、次のプロットでは、信号の長さ11（赤）と長さ171（黒）のフィルターを使用して、信号のノイズバージョンをフィルター処理しています。それらを以下に示します。

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ご覧のように、黒い結果は「より滑らか」ですが、トランジェントの範囲では、より「汚れ」ていることがわかります。対照的に、赤はまだいくらかのノイズを保持していますが、トランジェントはそれほど影響を受けていません。

以下のプロットは、上記のフィルターのスペクトルを示しています。

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TLDR：では、FIRフィルターに「理想的な」長さはありますか？フィルターの長さをさらに長くしても、ノイズ耐性は失われませんが、トランジェントが必要以上にスミアになる可能性がありますか？

編集：

新しい画像を2つ追加しました。最初のフィルターには、長さ11のフィルター（赤）、長さ171のフィルター（黒）、長さ901のフィルター（青）があります。濃い青はデータのスペクトルです。

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長さ11のフィルター（赤）と長さ901の新しいフィルター（黒）の対応する結果を次に示します。

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— スペイシー
ソース

黒いフィルターの問題は、帯域幅が思ったより広いことだと思います。信号自体の帯域幅はである可能性がありますが、サンプル100と150で突然カットオフすると、信号を長方形で乗算し、sincでたたみ込みます。帯域幅。総帯域幅を処理できる通過帯域を持つフィルターを作成します。

\frac{2}{T_{p}}

$\frac{2}{T_p}$

— ジム・クレイ

AWGNチャネルの場合、最適なフィルターは整合フィルターです。対象のパルスがウィンドウ付きの正弦波であるという事実は、実際には変化しません。ただし、パルスの周波数が正確にわからない場合は、フィルターが対象の信号に完全に集中していないため、整合フィルター処理でスカラップ損失が発生する可能性があります。

— Jason R

@JasonRこのアプリケーションでは、自分のパルス中心周波数を正確に知ることができます。これは、この場合の最適なフィルター（AWGN）が、問題のパルスと同じ長さのフィルターであることを意味しますか？

— Spacey

これは、最適なフィルターが一致フィルターであり、探しているパルスにサンプルごとに等しいフィルターであることを意味します。

— Jason R

@JimClay投稿を更新して、帯域幅が狭く、長さが901の別のフィルターを表示しました...それ以上購入するとは思わない...

— Spacey

回答:

私は上からの私のコメントのいくつかをこの答えに変換しています：

AWGNチャネルでパルス形状の存在を検出しようとしている場合、最適な検出器は、パルス形状一致するフィルターを使用します（適切には、matched filterと呼ばれます）。これにより、フィルターの出力で信号対ノイズ比（SNR）が最大化され、最高の検出統計が得られます。このアプローチは、次のように数学的に表現される、観測された信号とパルス形状のスライド相互相関に相当します。 $p(t)$ $p(t)$

d (t) = x (t) * p (t)

$d(t) = x(t) * p(t)$

ここで、は観測された信号で、は結果の検出統計です。 $x(t)$ $d(t)$

したがって、主な問題は、対象のパルスが発生する場所を決定するために使用できる適切なしきい値の選択で構成されます。具体的には、一つの検出を示すことになるとき、 2つの対向するパフォーマンス・メトリックとの間のバランスに用いられる閾値である：検出の確率と誤警報の確率。これは、トレードオフについてもう少し説明する、以前の回答へのリンクです。これらのメトリックのターゲット値は、特定のアプリケーションの要件に従って選択されます。 $x(t)$ $d(t) > T$ $T$ $P_d$ $P_{fa}$

この場合、と一般的な式を簡単に作成できます。 $P_d$ $P_{fa}$

誤警報の確率：「誤警報」は、検出器が実際には存在しないときにターゲットパルスの存在を報告する場合を示します。チャネルをAWGNとして定義しているため、誤警報の場合、入力信号はホワイトガウスノイズ（WGN）プロセスです。一般性を失うことなく、ノイズは分散でゼロ平均であると仮定します。 $p(t)$ $x(t)$ $\sigma^2$

を決定するために、マッチドフィルターの出力での信号がどのように見えるかに関心があります。は次のように定義されることを思い出してください。 $P_{fa}$ $d(t)$

$d (t) = x (t) * p (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) p (t - τ) d τ$ $d(t) = x(t) * p(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) p(t-\tau) d\tau$
仮定すると分散を有する白色ガウスノイズプロセスである、そのことを示すことができ分散して、また、ガウスであろうと等しいです。 $x(t)$ $\sigma^2$ $d(t)$

$σ_{d}^{2} = σ^{2} \int_{- \infty}^{\infty} | p (t) |^{2} d t$ $\sigma_d^2 = \sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} |p(t)|^2 dt$
つまり、マッチドフィルターの出力の分散は、パルス波形の合計エネルギーによってスケーリングされます。この場合、検出統計は、分散ガウス過程です。任意の時間での誤警報の確率は、検出統計量がしきい値を超える確率に等しくなります。ガウス分布のプロパティを使用すると、次のように記述できます。 $p(t)$ $d(t)$ $\sigma_d^2$ $t$ $T$

$\begin{aligned} P_{f a} & = P (d (t) > T | no signal present) \\ = 1 - F_{d} (T) \\ = Q (\frac{T}{σ_{d}}) \end{aligned}$ $\begin{align} P_{fa} &= P(d(t) > T\ | \text{ no signal present}) \\ &= 1 - F_d(T) \\ &= Q\left(\frac{T}{\sigma_d}\right) \end{align}$
ここで、はガウス分布の累積分布関数（CDF）で、はQ関数です。 $F_d(d)$ $Q(x)$
検出の確率：このケースは、対象の信号が存在するという点で、偽アラームのケースとは異なります。具体的には、マッチドフィルターが対象のパルスと完全に整列している状況を調べます。以前に分析したのと同じノイズ成分が存在しますが、目的のパルス形状の自己相関によりゼロ以外の平均が得られます。この平均は、パルス波形の総エネルギーに等しくなります。

$E (d (t)) = \int_{- \infty}^{\infty} | p (t) |^{2} d t$ $\mathbb{E}\left(d(t)\right) = \int_{-\infty}^{\infty} |p(t)|^2 dt$
したがって、検出の確率は、検出統計がしきい値を超える確率です。

$\begin{aligned} P_{d} & = P (d (t) > T | signal present) \\ = 1 - F_{d} (T) \\ = Q (\frac{T - m_{d}}{σ_{d}}) \end{aligned}$ $\begin{align} P_{d} &= P(d(t) > T\ | \text{ signal present}) \\ &= 1 - F_d(T) \\ &= Q\left(\frac{T - m_d}{\sigma_d}\right) \end{align}$

設計プロセスは次のようになります。

検出器の動作範囲を選択し、動作する信号対ノイズ比の最小値（または同等に、最大ノイズ分散）を定義します。 $\sigma^2$
最悪の条件（つまり、最大ノイズレベル）を想定して、必要なまたは（どちらか重要な方）を満たすしきい値を選択します。 $T$ $P_d$ $P_{fa}$
の結果の値を他の方程式に代入して、予測されるパフォーマンスメトリックを決定します。 $T$

これは問題のかなりハイレベルな扱いであり、実際に機能するものを構築しようとするビジネスに取り掛かると、他のいくつかの詳細にぶつかります。

検出正弦波の問題に関連する可能性があることの1つは、受信されたパルスが、テンプレートパルス形状に対して未知の開始位相なる可能性が高いことです。次に、位相オフセットの量に基づいて相関ピークの減少を観察します。これは、検出器のパフォーマンスに大打撃を与えます。その場合は、非コヒーレント検出器がより良いアプローチです。 $\phi$ $p(t)$

$d_{1} (t) = x (t) * p (t)$ $d_1(t) = x(t) * p(t)$ $d_{2} (t) = x (t) * p_{Q} (t)$ $d_2(t) = x(t) * p_Q(t)$ $d (t) = \sqrt{d_{1}^{2} (t) + d_{2}^{2} (t)}$ $d(t) = \sqrt{d_1^2(t) + d_2^2(t)}$
ここで、は、テンプレート正弦波パルスの90度シフト（または直交）バージョンです。このケースの統計は少し異なり、興味のある読者のための練習問題として残されています。 $p_Q(t)$
上記の処理は、パルスがテンプレートと同じ電力レベルでで受信されることを前提としています。この複雑化に対処する2つの方法が頭に浮かびます。ある種の自動利得制御（AGC）プロセスを使用して、受信電力レベルを期待されるものに導くか、またはを、観測された信号（たとえば、バックグラウンドノイズの分散を推定してから、適切に設定することができます）。 $x(t)$ $p(t)$ $T$ $\sigma^2$ $T$

— ジェイソンR
ソース

丁寧で丁寧な対応ありがとうございます。現時点ではフォローアップはないと思います。

— Spacey

「最良の」フィルターを取得するには、いくつかの手順を実行する必要があります

信号のスペクトルを決定します。ウィンドウ処理された正弦波パルスのスペクトルは、基本的に、キャリアと畳み込まれたウィンドウ関数によって与えられます。キャリアは正弦波なので、畳み込みはウィンドウスペクトルを単純にシフトします。ただし、ウィンドウの形状は重要です。コサインロール、ハニング、ハミング、カイザーなどです。これにより、帯域幅の幅と、維持する必要のある強いサイドローブがあるかどうかが決まります。
ノイズのスペクトルを特定します。これは、ノイズのみが存在する信号の領域のスペクトルを確認することで最も簡単になります。
信号とノイズのスペクトルを見てください。有用な周波数は、信号エネルギーがノイズよりも大きい周波数です。「悪い」周波数は、ノイズがより大きい周波数です。
「有用な」周波数を渡し、悪い周波数を「拒否」するフィルター仕様を作成します。拒否の量は、 "Wiener Filter" http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_filterと呼ばれるアプローチを使用して最適化できます。ピンチでは、バンドパスも同様に機能します。
フィルター仕様には、少なくとも中心周波数、帯域幅、およびロールオフの急勾配が必要です。より多くのフィルター係数は、通常、通過帯域をより平坦にし、ロールオフをより急勾配にします。再び信号対ノイズグラフを見ると、通常、ロールオフの意味がわかります。

— ヒルマー
ソース

FIRフィルターの長さは、FIRフィルターの精度を決定します。FIRフィルターは、最適なフィルター応答の近似値であり（これはユーザーが決定する必要があります）、「パルス」の持続時間に関連付ける必要はありません。FIRフィルターが長ければ長いほど、使用する係数が増えるほど、フィルターの振幅応答が仕様に正確に準拠するようになります。考慮すべき他の2つの問題があります。復調されたパルスの形状を歪める可能性があるため、位相応答を考慮する必要があります。あなたはすでにこれを行っているかもしれませんが、おそらくFIRフィルターに線形位相を持たせたいと思います。さらに、FIRフィルターの長さを長くすると、入力から出力までの遅延が追加されるため、フィルターの長さの観点から月を狙うだけでは済みません。したがって、最適な長さに関しては、

— ブルース・ゼノーネ
ソース