自己相関のピークがゼロになるのはなぜですか？

自己相関関数のゼロシフトがそのエネルギーに等しいことを知っていますが、なぜピークがゼロにあるのかを理解したいと思います。

あなたは正式な証明またはこれの背後にある直感を探していますか？後者の場合：「それ自体が関数に似ているものはありません」。ラグ自己相関は$\tau$、関数$f$とだけシフトされた同じ関数の間の類似性を測定し$\tau$ます。場合に注意$f$周期的であり、$f$任意の整数倍だけシフト$\tau$及び$f$ピークを有する中央のピークと同じ高さと周期の整数倍で-自己相関が櫛状に形成されているように、一致します。

非周期的な離散時間有限エネルギーの信号の自己相関関数は次式で与えられる

$$R_x[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]x[m-n]~~~~ \text{or}~~~ R_x[m] = \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m](x[m-n])^*$$ 実数信号と複素数信号のそれぞれ。説明を簡単にするために、実際の信号に限定して、合計$x[m]x[m-n]$について考えてみましょう。固定遅延$n$と指定された$m$場合、$x[m]x[m-n]$ は通常、正または負の値になります。特定の遅延$n$、$x[m]x[m-n]$はすべてに対して負ではありません$m$場合、合計のすべての項が加算され（キャンセルなし）、$R_x[n]$は正の値を持つことが保証されます。実際には、合計は、内のすべてのピークの場合、最大となり$x[m-n]$にピークを有するラインアップ$x[m]$とにおける谷$x[m-n]$ で谷を持つラインアップ$x[m]$。たとえば、$x$がオーバーサンプリングされたsinc関数である場合、たとえば、 $$x[m] = \begin{cases} \frac{\sin(0.1 \pi m)}{0.1 \pi m}, & m \neq 0,\\ 1, & m = 0\end{cases}$$ でピークを有する$m = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$と谷で $\pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$ $x(t)$は、$R_x[n]$は、n=0、±25、±で最大になります $n = 0, \pm 25, \pm 45, \ldots$（そして同様に、ピークが谷と並ぶ場合、 n = ± 15 、± 35 、± 55 、…で最小になります）。x [ m ]と x [ m − n ]の最大ピークが一致する場合、 R x [ n ]のグローバルな最大値は明らかに遅延 n = 0になります。実際、この結論はこのsinc信号だけでなく、$n = \pm 15, \pm 35, \pm 55, \ldots$$R_x[n]$$n = 0$$x[m]$$x[m-n]$信号。遅れ $n = 0$、我々は $$R_x[0] = \sum_{m=-\infty}^\infty (x[m])^2$$ 、我々は、互いに並んですべての山と谷がこれらに関係なく（あるだけでなく、保証され$x[m]$）で発生しますが、最も高い山と最も深い谷が適切に並んでいます。

より正式に、正式な証明を求め@JohnSmithようpedantsため、コーシー不平等が言うこと複素数値のシーケンスのため$u$と$v$、

$$\left|\sum_m u[m](v[m])^*\right|^2 \leq \sum_m |u[m]|^2 \sum_n |v[m]|^2.$$ 説明を簡単にするために、実際の値のシーケンスのみに制限している、より詳細なバージョンでは、 $$-\sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\sum_m \left(u[m]\right)^2 \sum_m \left(v[m]\right)^2}$$ ここで、等号が正（負）の番号がある場合、上部に保持する（低級）結合$\lambda$ように$u = \lambda v$、（ある、$u[m]=\lambda v[m] ~ \forall m$$\lambda > 0$（$\lambda < 0$））。平方根内部の和がエネルギーであることを認識$\mathcal E_u$と$\mathcal E_v$シーケンスの、我々はそれを書くことができます $$-\sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v} \leq \sum_m u[m]v[m] \leq \sqrt{\mathcal E_u \mathcal E_v}$$ 設定$u[m] = x[m]$と$v[m] = x[m-n]$$n$いくつかの整数であり、我々はそれを持っている $$-\sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2} \leq R_x[n] \leq \sqrt{\sum_m \left(x[m]\right)^2 \sum_m \left(x[m-n]\right)^2}$$ と今ことを認識$\mathcal E_u = \mathcal E_v = \mathcal E_x$、我々は持っている $$-\mathcal E_x \leq R_x[n] \leq \mathcal E_x$$ 等価と境界の一つに保持する場合$x[m] = \lambda x[m-n]$すべての$m$。最後に、 $$\mathcal E_x = \sum_m (x[m])^2 = R_x[0]$$ あり、$n=0$場合、シーケンス$u[m] = x[m]$はシーケンスv [ m ] =と同一であることに注意してください。 x [ m − n ] = x [ m − 0$v[m] = x[m-n] = x[m-0] = x[m]$（ある、$\lambda = 1$正の実数ようである$u[m] = \lambda v[m]$すべてのための$m$）、我々は持っている $$-R_x[0] \leq R_x[n] \leq R_x[0]$$ ことを示す$R_x[n]$のピーク値が$n=0$、他のすべての自己相関値はこのピークよりも小さいです。

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場合$x[m]$ある周期有限電力信号、に関して上記所定の和$R_x[n]$発散します。このような場合、周期的 自己相関関数

$$R_x[n] = \sum_{m=0}^{N-1} x[m](x[m-n])$$ ここで、$N$は$x[m]$周期です。つまり、$x[m] = x[m-N]$すべての整数$m$に対して x [ m ] = x [ m − N ]。そのノート$R_x[n]$の周期関数である $n$。さて、$R_x[0] \geq |R_x[n]|$以下のため$1 < n < N$、最大値$R_x[0]$にも定期的に繰り返す：$R_x[kN] = R_x[0]$ すべての整数$k$に対して k N ] = R x [ 0 ]。また、可能性があることに注意してください$R_x[n] = -R_x[0]$ いくつかのため$n \in \{1, 2, \ldots, N-1\}$典型的には、$n = N/2$あれば$N$偶数であり、そして我々はそう周期の最も高いピークと同じ深さの谷を持つことができます自己相関関数。そのようなシーケンスの最も単純な例は、$N=2$で、シーケンスの1周期が$[1 ~ -1]$であり、その周期的自己相関が周期的シーケンス$[2 ~ -2]$場合、つまり、自己相関$R_x[n]$で山と谷が交互になることです。[ N ]を有するピーク値$2$$n$偶数の整数である（ことを忘れない$0$！偶数の整数）とを有する「抗ピーク」値$-2$の奇数値で$n$。より一般的には、$N$が偶数で、1周期$\vec{x}$が$[\vec{x^\prime}, -\vec{x^\prime}]$分解できる場合は常にこの現象が発生します。

を使用して

$$\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 = x^2[n] + x^2[n+m] - 2x[n]x[n+m]$$

簡単にそれを示すことができます

$$\begin{align} R_x[m] & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x[n+m] \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2[n] - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ & = \ R_x[0] \quad \quad - \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(x[n] - x[n+m] \right)^2 \\ \end{align}$$

最初の項は単にで、2番目の項は最初の項から減算される負でない数です。つまり、R x [ m ]はどのmについてもR x [ 0 ]を超えることはできません。$R_x[0]$$R_x[m]$$R_x[0]$$m$