フーリエ変換の表記法と表記法の選択？

大学で学んだフーリエ変換と逆フーリエ変換の定義は

F （T ）=

$$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$$ $$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$$

この条約の顕著な特徴は

• 非ユニタリ変換。周波数領域の単位はラジアンです（変数は）$\omega$
• 「時間領域」の単位は時間です（変数は）$t$
• 関数変換は大文字で示されます（対f）$F$$f$
• でのF （jはωが）厳しく関数はフーリエ変換であることを示し、$j$$F(j\omega)$
• そしてもちろん、j = √である通常のEE規則。$j=\sqrt{-1}$

最近では、本質的にはウィキペディアで使用されているものとは大きく異なる規則を使用し ています。

F（X）=∫ ∞ - ∞ F（ξ）EJ2πξXDξ この条約の特性は

$$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$$ $$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$$

• ユニタリ変換; 周波数領域の単位は正規化された周波数です（変数は）$\xi$
• 「時間領域」単位は単位なしです（変数は）$x$
• $\hat{f}$$f$
• $\xi$$x$

私はいくつかの理由でこの慣習を非常に好みます。

1. 単一の規則を使用すると、フーリエ双対の対称性と明瞭さが大幅に向上します。比較
   • $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$
   • $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$
   • $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$
   • $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$
2. $x$$t$$t$
3. 大文字は、変換された関数を表すよりも、離散値の変数/関数を表す方が便利だと思います。
4. $f$$\xi$$\mathcal{F}\{f\}$$\mathcal{F}{f(t)}$$\mathcal{F}\{f\}(t)$$\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
5. $\pi$

もちろん、私の慣習の選択を他の人が使用する慣習よりも優れていると考えるのは私にとってかなり無駄です 。しかし、私が最初に大学で学んだ慣習を好む正当な理由（つまり、伝統を含まない理由）を見つけるのに苦労しています。

$F(j\omega)$

「伝統的な」（単一ではない）規則を好む他の理由を誰かが考えることができますか？この「伝統的な」慣習は、信号処理コースを受講した場合と同じですか？あなたはどちらの慣習を好みますか？

慣習の選択は、あなたがコミュニケーションをとろうとしている聴衆にとって最も適切な（または親しみやすい）ものでなければなりません。

信号にx（t）を使用することの1つは、

• $y = x^2$

そして

• $y(t) = x(t)^2$

ここで、xは依然として入力であり、yは依然として出力です。この場合でも、それらは数値ではなく信号です。