複素数値の場合、なぜ畳み込みで複素共役を使用するのですか？

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Haykinの110ページで記述された適応フィルター理論（2014）からの引用：

y (n) = \sum_{k = 0}^{\infty} w_{k}^{*} u (n - k), n = 0, 1, 2, . . .

$y(n) = \sum_{k=0}^{\infty} w_k^*u(n-k), \quad n=0,1,2,...$

どこ $u$ そして $w$ 複雑な値です。私の質問は、なぜ複合共役を使用するのですか $w_k$ ？本にある答えは、「...、複雑な用語では、用語 $w_k^*u(n-k)$ フィルター係数の内積のスカラーバージョンを表します $w_k$ とフィルター入力 $u(n-k)$ 「まだわかりません。この回答について詳しく説明していただけますか？

— ΗλεκτρολόγοςΜηχανικός
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畳み込みと相関は密接に関連していることがわかります。実際の信号（および有限エネルギー信号）の場合：

畳み込み： $\qquad y[n] \triangleq h[n]*x[n] = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} h[n-m] \, x[m]$

相関： $\qquad R_{yx}[n] \triangleq \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} y[n+m] \, x[m] = y[-n]*x[m]$

さて、メトリック空間では、この表記法を使用したいと思います。

R_{x y} [n] ≜ ⟨ x [m], y [n + m] ⟩ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] y [n + m]

$R_{xy}[n] \triangleq \Big\langle x[m], y[n+m] \Big\rangle = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] y[n+m]$

の $\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \rangle$ あるインナー製品のベクトルの $\mathbf{x}$ そして $\mathbf{y}$ どこ $\mathbf{x} =\{x[n]\}$ そして $\mathbf{y} =\{y[n]\}$ 。次に、ベクトルのノルムを次のように定義することもできます。

\begin{aligned} ‖ x ‖ & ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x [m]} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x^{2} [m]} \end{aligned}

$\begin{align} \| \mathbf{x} \| &\triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] x[m]} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x^2[m]} \\ \end{align}$

これは、無限次元のベクトルのユークリッド長によく似ています。これはすべて、要素が $x[n]$ ベクトルの $\mathbf{x}$ すべて本物です。規範 $\| \mathbf{x} \|$ 常に実数で負ではありません。

したがって、次の要素を一般化して許可すると、 $\mathbf{x}$ 複素数値であるため、ノルムの同じ定義が使用される場合、

‖ x ‖ ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩}

$\| \mathbf{x} \| \triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle}$

次に、内積の定義を少し変更する必要があります。

⟨ x, y ⟩ = \sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] y^{*} [m]

$\Big\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \Big\rangle = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] y^*[m]$

次に $\mathbf{x}$ 複素数値の要素があり、基準は次のようになります。

\begin{aligned} ‖ x ‖ & ≜ \sqrt{⟨ x, x ⟩} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} x [m] x^{*} [m]} \\ = \sqrt{\sum_{m = - \infty}^{\infty} | x [m] |^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \| \mathbf{x} \| &\triangleq \sqrt{\big\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \big\rangle} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}x[m] x^*[m]} \\ &= \sqrt{\sum\limits_{m=-\infty}^{\infty}\Big|x[m]\Big|^2} \\ \end{align}$

したがって、明らかに、ヘイキンは内積の定義を畳み込みの定義に戻しているだけです。

— ロバート・ブリストー・ジョンソン
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適応フィルターの形成に共役を使用する必要はありません。ただし、共役を使用して出力を記述しない場合は、処理する変数が複雑であることを忘れがちです。あなたが書くなら

h (n) = \sum_{k = 0}^{\infty} w_{k} (n) u (n - k)

$h(n)=\sum_{k=0}^{\infty}w_k(n)u(n-k)$ 次に、複雑な量を扱っているかどうかは明確ではありません。

Robertがすでに指摘したように、実際のデータに対して定義されているだけを表示することに慣れている場合は、複雑なデータを処理するために相関の定義を更新する必要があります。

このような共役を使用するもう1つの理由は、適応フィルターの解を見つけるための導関数の取得を簡略化することです。実数値の目的関数があると仮定します $J(w)$ 最小化しようとしていること-通常、これは平均二乗誤差です。 $E[e^*(n)e(n)]$ 。この量の導関数をwrt $w$ それほど簡単ではありません。

一般的な手法は、目的関数を $w$ そして $w^*$ -つまり、扱います $w$ そして $w^*$ 独立変数として。今私たちは持っています

J (w) = F (w, w^{*})

$J(w) = F(w,w^*)$

最小値を見つけるために、導関数wrtを取ります $w$ そして $w^*$ そしてそれらをゼロに設定するので、解決したいと思います

\frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w} = \frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w^{*}} = 0

$\frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w } = \frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w^* }= 0$

ただし、分析を行うと、

\frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w} = 0 ⟺ \frac{\partial F (w, w^{*})}{\partial w^{*}} = 0

$\frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w } =0 \iff \frac{\partial F(w,w^*)}{\partial w^* }= 0$

したがって、これらの方程式の1つだけを解く必要があります。

詳細については、以下をご覧ください。

「複雑な勾配演算子とそのアダプティブアレイ理論への応用」、Brandwood 1983、通信、レーダーおよび信号処理、IEE Proceedings F
「複素勾配演算子とCR計算」クロイツ・デルガドはこちら
"complex gradient and Hessian"、van den Bos、1994、Vision、Image and Signal Processing、IEE Proceedings

適応フィルターの理論については、Ali Sayedによる「Fundamentals of Adaptive Filtering」のプレゼンテーションを優先します。彼は、LMS、NLMS、RLS、APA、およびラティスフィルターの統一された派生を提示します。

— デビッド
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