の分布

円対称複素確率変数の確率分布の正準式または分析式はありますか $Z$：

$$Z = e^{j\theta},$$ どこ $\theta \sim \mathcal U(0, 2\pi)$？

サイドノート：

実数部と虚数部、すなわち：

$$\Re(Z) = \cos \theta \\ \Im(Z) = \sin \theta$$ によって与えられる 限界密度を持っている： $$f_{\Re(Z)}(z) = f_{\Im(Z)}(z) = \frac{1}{\pi\sqrt{1-z^2}}, \quad -1 < z < 1,$$ しかし、それらは独立していないため、それらの共同PDFの計算は重要です。

編集： $Z$ 複雑な法線とは異なります。ここでは、振幅 $|Z|$は決定論的であり、同じ1ですが、 $Z$ 複雑で正常でした $|Z|$ レイリー分散されます。

実数部と虚数部は相互に非常に依存しているため（1つの値がある場合、もう1つの値を正確に知っている）、実数部の限界pdfを適用できるようです $r$、虚数部の値を指定 $i$：

$$f_{ri}(r, i) = f_{r | i}(r\ |\ i) f_i(i)$$

実数部と虚数部のPDFを個別に書き留めました。

$$f_r(z) = f_i(z) = \frac{1}{\pi\sqrt{1-z^2}}$$

それは限界pdfを残します $f_{r | i}(r\ |\ i)$。確率変数の特定の実現のために$Z$、2つのコンポーネントは決定論的に関連しています。

$$r^2 + i^2 = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$$

この関係を考えると、 $r$ の面では $i$：

$$r^2 = 1 - i^2$$ $$r = \pm \sqrt{1-i^2}$$

したがって、の限界pdf $r$ の値が与えられた $i$ 一対の衝動です：

$$f_{r | i}(r\ |\ i) = \frac{1}{2}\delta\left(r - \sqrt{1 - i^2}\right) + \frac{1}{2}\delta\left(r + \sqrt{1 - i^2}\right)$$

これらをまとめると、次のようになります。

$$f_{ri}(r, i) = \frac{\delta\left(r - \sqrt{1 - i^2}\right) + \delta\left(r + \sqrt{1 - i^2}\right)}{2\pi\sqrt{1-i^2}}$$

これを幾何学的に考えると、水平線ごとに $i = i_0$ （ために $i_0 \in [-1, 1]$） の中に $ri$ 平面、2点しかない $r_0 = \pm \sqrt{1 - i_0^2}$それらは非ゼロであり、pdfはそれらの点で無限の高さを持っています。ご想像のとおり、これらの交点（つまり、pdfがゼロ以外の点）は、水平線が単位円と交差する場所です。

これは、ジョイントpdfがゼロ値であることを意味します。ただし、単位円に沿った場合は、高さが無限になります。確率変数の定義として、それは直感と一致します$Z$ が単位円上にある値のみを取ることができるようにします。

私がこれをレイアウトした特定の方法について特別なことは何もありません。また、問題を転置して、$ri$ フォームの平面 $r = r_0$ また、2つの確率変数が密結合しているため、同じ関係が見られます。

この定式化はAlexTPの回答のそれと同等であると思いますが、彼の導出はおそらくより直感的です。

複雑な計算を避け、 $X$ そして $Y$ことIID標準正規確率変数、あなたの確率変数$Z$ 同じ分布 $V$

$$V \triangleq \left(\frac{X}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{Y}{\sqrt{X^2+Y^2}} \right)$$ （見やすい $\lVert V\rVert=1$ との角度 $V$ は、円対称の法線の角度に等しいため、均一です）。

この種の $V$ 円上に均一に分布する点の構成の1つです（これは、 $(n-1)$-sphere、参照球ポイントはピッキングとこの答えを例えば）。

したがって、PDF $Z$単位円の円周の逆数です。ために$Z_\rho = \rho e^{j\Theta}$ 固定して $\rho$ そして均一 $\Theta$、

極座標（極小領域が $r dr d\theta$）、

$$f_{R,\Theta}(r,\theta)=\frac{1}{2\pi} \delta(r - \rho)$$

ここで何が行われているのかがわかれた既存の回答に基づいて、AlexTPの回答とわずかに異なる、ソリューションの別の非常に単純な表現を提示します（これは、Jason Rの回答で与えられたもの。以下のEDIT-partに示されています）。

[編集：AlexTPが回答を編集したので、PDFの表現は同じです。したがって、3つの答えはすべて最終的に互いに一致します]。

複素確率変数を $Z=X+jY$ として定義される

$$Z=\rho e^{j\theta}\tag{1}$$

半径 $\rho$は決定論的であり、与えられているが、角度$\theta$ ランダムで均一に分布しています $[0,2\pi)$。私はそれ以上の証明なしに述べます$Z$ は、円対称であり、その確率密度関数（PDF）は、

$$f_Z(z)=f_Z(x+jy)=f_Z(r),\qquad\textrm{with}\quad r=\sqrt{x^2+y^2}\tag{2}$$

つまり、半径（マグニチュード）の関数として記述できます。 $r$。

PDFはどこでもゼロでなければならないので $r=\rho$、それは（2次元平面上に統合された場合）1に統合する必要があるため、唯一の可能なPDFは

$$f_Z(r)=\frac{1}{2\pi}\delta(r-\rho)\tag{3}$$

それを示すことができます $(3)$ 確率変数の正しい周辺密度につながる $X$ そして $Y$。

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編集：

コメントで非常に有用な議論をした後、問題の1つの解決策に合意できたようです。控えめな式であることを以下に示します$(3)$実際、Jason Rの回答のより複雑に見える式に相当します。私が使用することに注意してください$r$ 複素RVの大きさ（半径） $Z$、ジェイソンの答えでは $r$ の実部を表す $Z$。私が使用します$x$ そして $y$実数部と虚数部のそれぞれについて。さあ行こう：

$$f_Z(r)=\frac{1}{2\pi}\delta(r-\rho)=\frac{1}{2\pi}\delta\left(\sqrt{x^2+y^2}-\rho\right)\tag{4}$$

私達はことを知っています $\delta\big(g(x)\big)$ によって与えられます

$$\delta\big(g(x)\big)=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}\tag{5}$$

どこ $x_i$ の（単純な）ルーツです $g(x)$。我々は持っています

$$g(x)=\sqrt{x^2+y^2}-\rho\quad\textrm{and}\quad g'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{r}\tag{6}$$

二つのルーツ $x_i$ は

$$x_{1,2}=\pm\sqrt{\rho^2-y^2}\tag{7}$$

したがって、

$$|g'(x_1)|=|g'(x_2)|=\frac{\sqrt{\rho^2-y^2}}{\rho}=\sqrt{1-\left(\frac{y}{\rho}\right)^2}\tag{8}$$

と $(5)$-$(8)$、式 $(4)$ 次のように書くことができます

$$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi\sqrt{1-\left(\frac{y}{\rho}\right)^2}}\left[\delta\left(x-\sqrt{\rho^2-y^2}\right)+\delta\left(x+\sqrt{\rho^2-y^2}\right)\right]\tag{9}$$

ために $\rho=1$、式 $(9)$Jason Rの回答で与えられた表現と同じです。

私たちは今、その式に同意できると思います。 $(3)$ 複雑なRVのPDFの正しい（かつ非常に単純な）式です $Z=\rho e^{j\theta}$ 確定的 $\rho$ そして均一に分布 $\theta$。