有界の帯域制限関数の導関数の境界

しましょう $f(t)$ プロパティを持つ関数である：

$$\begin{array}{ll} t\in\mathbf{R}&t\text{ is in reals}\\ f(t)\in\mathbf{R}\text{ for all } t&f(t)\text{ is in reals}\\ |f(t)|<A\text{ for all }t&\text{absolute value of }f(t)\text{ is bounded above by }A\\ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \ e^{- i \omega t} \ {\rm d}t = 0\text{ for all }|\omega|\ge B&f(t)\text{ is band-limited by frequency B in radians} \end{array}$$

与えられた $A$ そして $B,$ タイトな上限は何ですか $|f'(t)|,$ 関数の導関数の絶対値？

他については何も想定されません $f(t)$上記のものよりも。境界はこの不確実性に対応する必要があります。

振幅の正弦波の場合 $A$ と頻度 $B,$ 導関数の最大絶対値は $AB.$これは上限なのか、その場合はタイトな上限なのかしら。または、非正弦関数の勾配が急になる可能性があります。

あなたは、バーンスタインの不平等に興味を持つでしょう。これは、デジタル通信の基盤であるラピドス（92ページ）で最初に知りました。

正常な信号 $f(t)$ 上で定義したとおり（特に、 $f(t)$ 統合可能で、帯域制限されています $B\,\text{Hz}$、および $\text{sup}\,|f(t)| = A$）、次に

$$\left|\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}\right| \leq 2AB\pi.$$

バーンスタインによる元の結果は境界を確立したことに注意してください。その後、その境界はに引き締められました。$4AB\pi$$2AB\pi$

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Zygmundの「Trigonometric Series」を読むのに少し時間を費やしました。私が言えることは、三角法を知っているという印象を受けている人にとっては、これが完璧な救済策だということです。証明の完全な理解は私の数学のスキルを超えていますが、私は主要なポイントを強調することができると思います。

まず、ザイグムントがバーンスタインの不等式と呼ぶものは、より限定的な結果です。三角多項式（実数）がと、が単項式ない限り、厳密な不等式を使用します。

$$T(x) = \sum_{-\infty}^\infty c_k e^{jkx}$$ $x$ $$\max_x |T'(x)| \leq n \max_x |T(x)|$$ $T$$A \cos(nx+\alpha)$

これを一般化するには、予備的な結果が必要です。関数を検討$F$ それは中にあります $\text{E}^\pi$ そして $\text{L}^2$。（$\text{E}^\sigma$ せいぜいタイプの積分関数のクラスです $\sigma$-これは私の数学が端からほつれ始める場所の1つです。私の理解では、これは数学的に厳密な方法であり、$f=\text{IFT}\lbrace F \rbrace$ 帯域幅があります $\sigma$。）

そのような $F$ 補間式があります

$$F(z) = \frac{\sin(\pi z)}{\pi}F_1(z),$$ どこ $z$ 複雑で $$F_1(z) = F'(0) + \frac{F(0)}{\pi} + \sum_{n=-\infty}^\infty {^\prime} (-1)^nF(n) \left( \frac{1}{z-n}+\frac{1}{n} \right).$$ （これは定理7.19です。）

これで主定理を述べることができます。次の場合：

• $F$ にあります $\text{E}^\sigma$ と $\sigma>0$
• $F$ 実軸にバインドされています
• $M=\sup |F(x)|$ まじ？実際に $x$

その後

$$|F'(x)| \leq \sigma M$$ 平等可能な限り $F(z) = a e^{j\sigma z} + b e{-j\sigma x}$ 任意の $a,b$。と思う$\sigma=\pi$ （それ以外の場合は $F(z\pi/\sigma)$ の代わりに $F(z)$。）

これを証明するために、 $F$ 上記の補間式を使用して：

$$F'(x) = F_1(x)\cos(\pi x)+\frac{\sin(\pi x)}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(x-n)^2}.$$ 設定 $x=1/2$ 我々が得る $$F'(1/2) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(2n-1)^2}$$ それは意味する $$|F'(1/2)| \leq \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{4M\pi^2}{4\pi} = M\pi.$$

さて、ちょっとしたトリックが必要です。 $x_0$ そして定義する $G(z) = F(x_0+z-1/2)$。そして、

$$|F'(x_0)| = |G'(1/2)| \leq M\pi.$$

（TODO：平等の場合の証明を示します。定義します $\sum \prime$。）

一般に、次のような結果になりますが、きついとは限りません。

$$\begin{align}|f'(t)|&=\left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}j\omega F(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega\right|\\&\le \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&\le \frac{|\omega_c|}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{\omega_c}{\pi}\int_{0}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\tag{1}\end{align}$$

上限 $|f(t)|$ もちろんで暗黙的です $|F(j\omega)|$。

正弦波の場合 $A\sin(\omega_ct)$、 $(1)$ 与える $A\omega_c$ 期待通り、上限として。