DFTのためのWikipedia方程式の実装

私は簡単なフーリエ変換の実装を書いていて、参考のためにウィキペディアのDFT方程式を見て、私が何か違うことをしていることに気づき、それについて考えた後、ウィキペディアのバージョンは間違っているに違いないと感じました。 （その方程式で）フーリエ変換すると誤ったスペクトルが返されることを通知します。$n/N$ と $0<n<N-1$）、（複素平面を包み込みながら）偶数回周期的な信号は、DFT中に表示される通常のピーク（単位円を回っている間）が互いに打ち消し合うため、スペクトルがありません（偶数の場合）それらの数が表示されます）。

これを確認するために、次の画像を生成するコードをいくつか作成しました。

「方程式を使用する時間」は方程式を使用します

$$X_f = \sum_{n=0}^{N-1} x_n (\cos(2\pi f t_n) - i \sin(2\pi f t_n))$$ と $t$ 時間のベクトル（つまり、時間 $t_n$ これで $x_n$たとえば、サンプリングされました）。ft以下の関数で見つけることができます。

上でリンクされたウィキペディアの方程式は、参照用にここにコピーされます。

$$X_f = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \left(\cos\left(2\pi f \frac{n}{N}\right) - i\sin\left(2\pi f \frac{n}{N}\right)\right)$$ 関数にありますft2。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt 
plt.style.use('ggplot')

def ft(t, s, fs):
    freq_step = fs / len(s)
    freqs = np.arange(0, fs/2 + freq_step, freq_step)
    S = []
    for freq in freqs:
        real = np.sum(s * np.cos(2*np.pi*freq * t)) 
        compl = np.sum(- s * np.sin(2*np.pi*freq * t)) 
        tmpsum = (real**2 + compl**2) ** 0.5 
        S.append(tmpsum)
    return S, freqs

def ft2(s, fs):  # Using wikipedia equation
    nump=len(s)
    freq_step = fs / nump
    freqs = np.arange(0, fs/2 + freq_step, freq_step)
    S = []
    for i, freq in enumerate(freqs):
        real = np.sum(s * np.cos(2*np.pi*freq * i/nump))
        compl = np.sum(- s * np.sin(2*np.pi*freq * i/nump))
        tmpsum = (real**2 + compl**2) ** 0.5 
        S.append(tmpsum)
    return S, freqs


def main():
    f = 5 
    fs = 100 
    t = np.linspace(0, 2, 200)
    y = np.sin(2*np.pi*f*t) + np.cos(2*np.pi*f*2*t)

    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(311)
    ax.set_title('Signal in time domain')
    ax.set_xlabel('t')
    ax.plot(t, y)

    S, freqs = ft(t, y, fs) 

    ax = fig.add_subplot(312)
    ax.set_xticks(np.arange(0, freqs[-1], 2)) 
    ax.set_title('Time using equation')
    ax.set_xlabel('frequency')
    ax.plot(freqs, S)

    S, freqs = ft2(y, fs) 
    ax = fig.add_subplot(313)
    ax.set_title('Using Wiki equation')
    ax.set_xlabel('frequency')
    ax.set_xticks(np.arange(0, freqs[-1], 2)) 
    ax.plot(freqs, S)

    plt.tight_layout()
    plt.show()

main()

明らかに、このような注目度の高いWikiページでランダムにエラーを見つけた可能性はかなり低いようです。しかし、私は自分がしたことの間違いを見ることができませんか？

にバグがありft2ます。あなたは増加していますi、そしてfreq一緒です。それはあなたがあなたの総計を機能させたい方法ではありません。私はそれを修正するためにいじりましたが、それは散らかりました。継続的な用語を使うのではなく、個別の観点から書き直すことにしました。DFTでは、サンプリングレートは無関係です。重要なのは、使用されるサンプルの数です（N）。ビン番号（k）は、フレームあたりのサイクル単位の周波数に対応します。私は、コードをできるだけそのままにして、簡単に理解できるようにしようとしました。また、DFT計算ループを展開して、その性質を少しだけ明らかにしたいと思っています。

お役に立てれば。

セド

numpyをnpとしてインポートする
matplotlib.pyplotをpltとしてインポート 

def ft（t、s、fs）：
    freq_step = fs / len（s）
    freqs = np.arange（0、fs / 2、freq_step）
    S = []
    freqsのfreqの場合：
        real = np.sum（s * np.cos（2 * np.pi * freq * t）） 
        compl = np.sum（-s * np.sin（2 * np.pi * freq * t）） 
        tmpsum =（real ** 2 + compl ** 2）** 0.5 
        S.append（tmpsum）
    S、周波数を返す

def ft3（s、N）：＃ウィキペディア方程式のより効率的な形式

    S = []

    スライス= 0.0
    sliver = 2 * np.pi / float（N） 

    範囲（N / 2）のkの場合：

        sum_real = 0.0    
        sum_imag = 0.0
        角度= 0.0
        範囲（N）のnの場合：
            sum_real + = s [n] * np.cos（angle）
            sum_imag + = -s [n] * np.sin（angle）
            角度+ =スライス

        スライス+ =スライバー
        tmpsum =（sum_real ** 2 + sum_imag ** 2）** 0.5 
        S.append（tmpsum）

    戻り値

def ft4（s、N）：＃ウィキペディアの方程式を使用

    S = []

    範囲（N / 2）のkの場合：

        sum_real = 0.0    
        sum_imag = 0.0
        範囲（N）のnの場合：
            sum_real + = s [n] * np.cos（2 * np.pi * k * n / float（N））
            sum_imag + = -s [n] * np.sin（2 * np.pi * k * n / float（N））

        tmpsum =（sum_real ** 2 + sum_imag ** 2）** 0.5 
        S.append（tmpsum）

    戻り値

def ft5（s、N）：＃Unityの加重和の根

    sliver = 2 * np.pi / float（N） 

    root_real = np.zeros（N）
    root_imag = np.zeros（N）

    角度= 0.0
    範囲（N）のrの場合：
        root_real [r] = np.cos（angle）
        root_imag [r] = -np.sin（角度）
        角度+ =スライバー

    S = []

    範囲内のkの場合（N / 2）：

        sum_real = 0.0    
        sum_imag = 0.0
        r = 0

        範囲内のnの場合（N）：
            sum_real + = s [n] * root_real [r]
            sum_imag + = s [n] * root_imag [r]
            r + = k
            r> = Nの場合：r-= N

        tmpsum = np.sqrt（sum_real * sum_real + sum_imag * sum_imag）
        S.append（tmpsum）

    戻り値

def main（）：

    N = 200
    fs = 100.0

    time_step = 1.0 / fs
    t = np.arange（0、N * time_step、time_step）

    f = 5.0
    y = np.sin（2 * np.pi * f * t）+ np.cos（2 * np.pi * f * 2 * t）

    fig = plt.figure（）
    ax = fig.add_subplot（311）
    ax.set_title（ '時間ドメインの信号'）
    ax.set_xlabel（ 't'）
    ax.plot（t、y）

    S、freqs = ft（t、y、fs） 

    ax = fig.add_subplot（312）
    ax.set_xticks（np.arange（0、freqs [-1]、2）） 
    ax.set_title（ '方程式を使用した時間'）
    ax.set_xlabel（ '頻度'）
    ax.plot（周波数、S）

    S = ft3（y、N） 
    ax = fig.add_subplot（313）
    ax.set_title（ 'Wiki方程式の使用'）
    ax.set_xlabel（ '頻度'）
    ax.set_xticks（np.arange（0、freqs [-1]、2）） 
    len（S）、len（freqs）を出力します
    ax.plot（周波数、S）

    plt.tight_layout（）
    plt.show（）

メイン（）

コードを確認するつもりはありません。ウィキペディアのページは問題ないように見えますが、これは数学者と電気技術者の間の「フォーマット戦争」、「表記戦争」、または「スタイル戦争」の良い例です。その一部は、数学の人々が正しいと思います。EEは採用すべきではなかった」$j$"虚数単位の場合。これは、DFTのより良い表現であり、逆は：

DFT：

$$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j 2 \pi nk/N}$$

iDFT：

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] \, e^{j 2 \pi nk/N}$$

DSPを行う電気技術者は、 $x[n]$ 「時間」における一連のサンプルとして $X[k]$「周波数」の離散サンプルのシーケンスとして。数学者はこれを好むかもしれません：

DFT：

$$X_k = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x_n \, e^{-i 2 \pi nk/N}$$

iDFT：

$$x_n = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X_k \, e^{i 2 \pi nk/N}$$

ウィキペディアのページと同じです。

あなたはの使用にもっと注意を払う必要があるかもしれません $+$ または $-$ 指数とそれがどのように変換されるか $+$ または $-$ に対して $\sin(\cdot)$ 期間。

私はこれに戻って、物事をより意味のあるものにするのに役立つ離散バージョンを導出しようとしました：

何とかして $f_k t_n = f(n, k, N)$

$f_k = \frac{f_s}{N}k$ そして $t_n = \frac{T}{N}n$

$f_s = \frac{N}{T}$

そう

$f_k t_n = \frac{f_s}{N}k\frac{T}{N}n = \frac{N}{TN}k\frac{T}{N}n = \frac{kn}{N}$

できた！