ノイズ除去のための複素関数の大きさの総変動の勾配

ほぼ一定の大きさであるが一定ではない位相を持つ複雑な関数（たとえば、MRI画像）があるとします。 $f^*$

を見つけて総変動項を含む目的関数を設定する最適化問題がある場合（ノイズ除去または圧縮センシングなど）、通常は次の形式になります。 $f^*$

o b j_{1} (f) = \dots + TV (f)

$obj_1(f) = \ldots + \text{TV}(f)$

ただし、は区分的に一定の大きさであると想定しているので、次のように使用する方がよいと思います。 $f$

o b j_{2} (f) = \dots + TV (| f |)

$obj_2(f) = \ldots + \text{TV}(|f|)$

ただし、勾配ベースのソルバーの場合、obj2の勾配を知る必要があります。用傾斜：である。勾配は何ですか？ $obj_1(f)$ $\text{TV}'\left(TV(f)\right)$ $obj_2(f)$

更新：

直感的には、次のようなものを想定します（フェーズはに影響を与えないため、フェーズは「そのまま」にしておきます）。 $obj_2$

{TV}^{'} (T V (| f |)) * e^{i \arg (f)}

$\text{TV}'\left(TV(|f|)\right)* e^{i \arg(f)}$

しかし、複雑な分析に関する私の知識は非常に限られており、これが意味をなすかどうかはわかりません。

image-processing noise denoising gradient total-variation

— スティーフェル
ソース

これはすべて、定義されていないマグニチュード関数の複素導関数に帰着すると思います。回避策はありますか？

— Stiefel

これは私の快適ゾーンの外にありますが、が一定の大きさの場合、はなりません一定であり、したがって、その総変動はゼロですか？

f

$f$

| f |

$|f|$

— Jason R

質問を修正しました。最適なf *は、「区分的に一定」の大きさであると想定されています。ノイズ除去アルゴリズムは通常反復的であり、中間のfはまだ区分的定数ではありません-反復的にfを区分的定数にする勾配が必要です。

— スティーフェル

このような特殊な複雑な分析の質問については、math.SEに投稿する方が成功する可能性があります。

— Jason R

@Stiefelこれはあなたの状況にはまったく当てはまらないかもしれませんが、おそらくMRIを空間ドメインに移動し、そこで全変動最小化を適用することを考えましたか？MRIにTVの最小化を使用しているコンテキストについてもう少し詳しく教えてください。

— エリック

の問題は分析ではないため、複雑な導関数の標準的な定義は適用されません。解決策は、Wirtinger導関数を使用することです。 $\left|f\right|$

信号処理の問題に対するWirtinger計算の詳細な説明は、

別の（おそらくより単純な）オプションは、複雑なイメージを2チャネル（実数、imag）イメージとして扱い、ベクトル場の微分の定義を使用することです。このペーパーでは、これを行う方法について非常に明確な説明があります。

— アリゴ
ソース