輪郭と面積、生（空間）、中央の画像モーメント

最近、バイナリ画像の画像処理に画像モーメントを使用し始めました。私はそれを読み取る$0^{th}$順序輪郭モーメントが境界と$0^{th}$順序面積モーメントである領域。これらの生の瞬間は両方によって与えられます：

$M_{ij} = \sum_{x}\sum_{y}x^iy^j$です。

つまり、次のような画像（ただし、バイナリの前景ピクセルは青で表示されます）がある場合、輪郭の画像であるため、モーメントは外周に対応します。$0^{th}$

私はこの（フォアグラウンド一方として示される）のようなイメージを持っている一方、私が取得する領域としてオブジェクトのモーメント：$0^{th}$

コンターを使用してより多くのプロパティを取得したいので、高次（、2 n d、3 r dオーダ）の生のコンターモーメントも計算します。これらを使用して中心的な瞬間を取得したいと思います。$1^{st}$$2^{nd}$$3^{rd}$

中心的なモーメントを取得するために使用している式は次のとおりです。

$\mu_{00} = M_{00}$

$\mu_{01} = 0$

$\mu_{10} = 0$

$\mu_{11} = \frac{M_{11}}{M_{00}} - x_c*y_c = \frac{M_{11}}{M_{00}} - (\frac{M_{10}}{M_{00}})*(\frac{M_{01}}{M_{00}})$

$0^{th}$$0^{th}$

さらに、等高線の生のモーメントに基づいて中心モーメントを計算できますか？

実は、私はそれが正しいの定義控除んでしたいかに難しいか驚いた輪郭を対非輪郭、「通常」の画像の瞬間。たくさんの資料を読んだ後、ここで私の結論が出てきます。

まず、モーメント、特に空間（OPが「生」と呼ぶもの）、中央、中央の正規化されたモーメントの違いと使用法を理解するために、2つの非常に優れた材料を見つけました。

• （マニュアル）Johannes Kilian：「モーメントによる簡単な画像分析」

  簡単な数学と優れたマニュアル。積分に怖がらないでください-それらのすべてを総和として読むことができます。

  また、この瞬間を操作するために使用されるOpenCV関数の概要についても説明します。それは非常に古い資料（2001）なので、参照しているOpenCVマニュアルは少し古いですが、それでも役に立ちます。

  そして、素晴らしい第3章よりも、どの瞬間がどの瞬間のどの特徴を説明するために使用されるかを指定します。

• （画像処理ブログ）Utkarsh：Image Moments

  シンプルで短く、フレンドリー。以前このブログでたくさんの良い資料を見つけました。

  ^{_{免責事項 AI Shackはある時点でオフラインになっているようです。こちらがAI Shackの作者のホームページです。彼はこのプロジェクトについて話しているので、まだサポートされているようです。私はそれがすぐにオンラインに戻ってくることを望みますが、そうでない場合は、作者のWebページで追跡できます。}}

簡単に言うと、空間モーメントは画像内のオブジェクトに関する情報、つまりオブジェクトの位置に関連する（依存する）情報を提供します。

中心モーメントはれる並進不変性のために調整問題のオブジェクトの重心（重心）の計算に使用される「座標系」の原点を移動させることにより、。

最後に、中央の正規化されたモーメントは、オブジェクトの面積によってスケーリングされるため、並進不変性に加えて不変スケーリングされます。

さて、実際の質問部分については、輪郭モーメントはどうですか？

この部分からの控除は主に基づいています

• OpenCVリファレンスマニュアル、v。2.4.4.0、3.5章：構造解析と形状記述子
• グリーンの定理の Wikipediaページ -OpenCVマニュアルからのリンクをたどり、輪郭モーメントを計算するときに使用される方法（数行で説明します）

• Gary Bradski、Adrian Kaehler：「OpenCVの学習：OpenCVライブラリによるコンピュータービジョン」

  （リンクはgoogleの本にありますが、関連するページはアクセス可能です。私がリンクしたセクションと次の2〜3のセクションが関連します。合計で約3ページです）

そして、これらのソースからの最も重要な引用：

輪郭のモーメントも同じ方法で定義されますが、グリーンの公式を使用して計算されます。

（OpenCVリファレンスマニュアル）

平面幾何学、特に面積測量では、グリーンの定理を使用して、周囲全体を積分するだけで平面図形の面積と重心を決定できます。

（グリーンのウィキ）

さらに、cvContourMomentsは単なるのエイリアスになりましたcvMoments。

（ブラッドスキーケーラーの本）

これに基づいて、輪郭モーメントはオブジェクトの輪郭の特別な測定値を指すのではなく、（画像全体のピクセル情報ではなく）輪郭情報のみを使用して画像モーメントを計算する特定の方法を指すと推測します。

基本的な場合の違いは、両方の計算方法です。

• 私の推測では、直接の実装はピクセルごとの総和で機能し、式を直接実装します。オブジェクトは塗りつぶされることが期待されています。
• 輪郭モーメントについての私の推測は、画像の輪郭が最初に決定され（OpenCVのマニュアルを参照）、次にグリーンの定理が輪郭データに適用されることです。

方法は次の点で異なるため、実際の画像では測定値が若干異なります。感度：ノイズ、スケーリング、離散化（連続画像ではなくピクセルグリッド）。また、速度：等高線を使用した計算は、直接的なアプローチを使用するよりも高速です。ノイズのない（理想化された）連続白黒画像に対して完全に等しい結果が得られると推測します。

だから、あなたの質問に答えるために：瞬間は同じでなければなりません（ノイズなどのために異なります）。両方の方法で計算された空間（生）モーメントを使用して、中心モーメントを決定できます（それでも同じことが説明されます）。

この主張をさらに裏付けるのは、1994年のこの記事の存在です（私は要約を読んだだけですが、非常に関連性があり、要約でさえ有益です）。

• Luren Yang、Fritz Albregtsen：「離散グリーンの定理を使用したモーメントの高速かつ正確な計算」

$0^{th}$は、オブジェクトの輪郭の画像のモーメントをしますが、輪郭は実際のものとして扱います「オブジェクトの輪郭」としてではなく、薄いオブジェクト。

もちろん、この瞬間をさらに使用すると、以降のすべての測定値は異なります。

輪郭モーメントや面積モーメントに関係なく、中心モーメントは、中心にある参照フレーム、つまり、現象の平均に中心があるフレームで計算されるモーメントを意味します。

$(\mu_{0,1},\mu_{1,0})$$\mathbf{\mu} = (\mu_{01},\mu_{10})$

また関連して、語彙についてのこの質問。