ハフ変換とラドン変換の違いは何ですか？

私はCTスキャンについて学ぶことからラドン変換に精通していますが、ハフ変換については知っていません。ウィキペディアによると

（r、θ）平面は、2次元の一連の直線のハフ空間と呼ばれることもあります。この表現により、ハフ変換は概念的に2次元ラドン変換に非常に近くなります。（それらは同じ変換を見る異なる方法として見ることができます。[5]）

彼らの出力は私には同じように見えます：

ハフおよびラドン変換の並列ロー対シータプロット

Wolfram Alpha：ラドン
Wolfram Alpha：ハフ

だから私は違いが何であるか理解していません。それらは異なる方法で見られる同じものですか？それぞれの異なるビューの利点は何ですか？なぜそれらは「ハフ・ラドン変換」に結合されないのですか？

image-processing computer-vision

— 内石
ソース

ちょっと無関係な質問ですが、この写真で使用したベジエヒートマップカラースキームを共有できますか？それはかなりよさそうで、それを記述するRGB値の配列があるのだろうかと思っていました。

M \times 3

$M\times 3$

— DumpsterDoofus 14

私は推測@DumpsterDoofusそれは場しのぎだので、私はそれを公開していないと私が最初にそれを研磨したかったが、私が持っているので、まだない：非ベジェ版はこちらgist.github.com/endolith/2879736とベジェ試みこちら要旨.github.com / endolith / ef948b924abf289287bd また、ここで使用さflic.kr/p/dWSfUd

— endolith

おかげで、私は実際に昨夜それを理解しました

R G B (x) = (\begin{matrix} (2 - x) x Boole [0 \leq x \leq 1] \\ x^{2} Boole [- 1 \leq x \leq 1] \\ - x (x + 2) Boole [- 1 \leq x \leq 0] \end{matrix}) .

$RGB(x)=\left( \begin{array}{c} (2-x) x \text{Boole}[0\leq x\leq 1] \\ x^2 \text{Boole}[-1\leq x\leq 1] \\ -x (x+2) \text{Boole}[-1\leq x\leq 0] \\ \end{array} \right).$

— DumpsterDoofus

@DumpsterDoofus自由にコードをクリーンアップしてください:)

— endolith 14

回答:

ハフ変換とラドン変換は実際、互いに非常に似ており、それらの関係は、前者が後者の離散化された形式であると大まかに定義できます。

ラドン変換に連続関数のために定義され、数学的積分変換であるにおける超平面上。一方、ハフ変換は本質的に、ポーリングおよびビニング（または投票）によって画像内の（他の形状に拡張可能な）線を検出する個別のアルゴリズムです。 $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$

2つの違いの合理的な類似性は、

確率変数の特性関数を確率密度関数のフーリエ変換として計算（PDF）
ランダムなシーケンスを生成し、ヒストグラムのビニングによりその経験的PDFを計算し、適切に変換します。

ただし、ハフ変換は、特定のアーティファクトが発生しやすいクイックアルゴリズムです。ラドンは数学的に健全であるため、より正確ですが遅いです。実際、ハフ変換の例のアーティファクトは、縦縞として見ることができます。Mathematicaの別の簡単な例を次に示します。

img = Import["http://i.stack.imgur.com/mODZj.gif"];
radon = Radon[img, Method -> "Radon"];
hough = Radon[img, Method -> "Hough"];
GraphicsRow[{#1, #2, ColorNegate@ImageDifference[#1, #2]} & @@ {radon,hough}]

最後の画像は、暗い色で縞模様を示すために否定したにもかかわらず、本当にかすかですが、そこにあります。モニターを傾けると役立ちます。すべての図をクリックすると、大きな画像が表示されます。

両者の類似性があまり知られていない理由の一部は、科学と工学のさまざまな分野が歴史的にこれら2つのうちの1つだけをニーズに使用してきたためです。たとえば、トモグラフィー（医療、地震など）、顕微鏡検査などでは、ラドン変換がおそらく排他的に使用されます。この理由は、アーティファクトを最小限に抑えることが最も重要だからだと思います（アーティファクトは誤診された腫瘍である可能性があります）。一方、画像処理、コンピュータービジョンなどでは、速度が重要であるため、ハフ変換が使用されます。

この記事は非常に興味深く、話題性があるかもしれません。

M. van Ginkel、CL Luengo Hendriks、LJ van Vliet、ラドン変換とハフ変換の簡単な紹介とそれらの相互関係、TU Delftイメージング科学技術部、定量イメージンググループ

著者は、ハフ変換を連続変換として記述する場合、2つは（元の定義では）非常に密接に関連しており、同等ですが、ラドンには、より直感的で確実な数学的基盤があるという利点があります。

一般化されたハフ変換に似た一般化されたラドン変換もあります。これは、直線ではなくパラメータ化された曲線で動作します。これを扱うリファレンスは次のとおりです。

Toft、PA、「ノイズの多い画像の曲線を検出するための一般化ラドン変換の使用」、IEEE ICASSP-96、Vol。4、2219-2222（1996）

— ロレムイプサム
ソース

ああ、それらは意図的に画像に追加されたと思いました。それらが人工物であることに気づかなかった。それで、ラドンはDFTがFFTであるのと同様にハフですか？しかし、円や物を見つけることができる一般化されたハフ変換もあり、ラドン変換についても同様のことがありますか？

— エンドリス

ええ、パラメータ化された曲線に対して機能する一般化されたラドン変換があります。完全に任意の曲線を作成するのは難しいと思いますが、それについてはあまり知りません。回答への参照を追加しました。

— ローレムイプサム

Radon変換は、FFTメソッドでも高速化できます。ハフはできないと思いますか？ハフはまだ速いですか？私はそれが画像サイズに依存していると思いますか？

— エンドリス

@endolithハフのほうが速いのは私の経験です。ただし、これらの2つの使用は、いじくり回している何かの中のいくつかの奇妙な行を検出することです。真面目な仕事で使用したり、自分で実装したことはありません。したがって、確実に答えることができないので、新しい質問としてそれを尋ねることをお勧めします。

— ローレムイプサム

ハフ変換をラドン変換の離散形式として説明するLorem Ipsumの回答に加えて、ジンケルなどによると、この説明的な説明が好きです。

$\rho$ $\theta$

$\theta$ $\theta$ $\Delta\rho$ $(x,y)$

$\Delta\theta$ $\Delta\rho$

$\theta$ $\theta$

ハフはその単純なアルゴリズムのために多くの分野で支配的であると思いますが、ラドンは精度が重要な場合や先験的な知識が利用できる場合に使用されます。

Matlabリファレンスも参照してください（[ アルゴリズム ]タブを展開）：

www.mathworks.com/help/images/ref/radon.html

www.mathworks.com/help/images/ref/hough.html

— オーゼショー
ソース