この方程式はどのように平滑化に対応していますか？

データの平滑化について教えてください。これは、ここに投稿された私の以前の質問のフォローアップです。特に、関数を平滑化する方法を彼が言っているJunuxxによるトップの回答は次のとおりです。$f(x)$

ここで、すべてのポイントについて、そのポイントとその2つの隣接ポイントの加重平均を取り、と呼ばれる平滑化バージョンを取得していることがわかります。$f[x]$$f[t]$$f'[t]$

音声強調に関する論文では、

xの再帰的な平滑化としてyの値を取得するのに役立ちます。ここでは平滑化パラメータとして機能し、それ自体は次のように計算されます$a[i]$

ここで、は他の場所で計算され、alphaは定数です。、、はすべて要素の配列です。$p[i]$$y[i]$$a[i]$$x[i]$$i$

このの方程式を方程式と関連付けるにはどうすればよいですか？どちらもデータを平滑化するためのものですが、方程式には自体の配列内の連続するポイントの加重平均が含まれ、方程式には連続するデータポイントは含まれません。この方程式をのデータの平滑化としてどのように理解できますか？$y[i]$$f'[t]$$f'[t]$$f[x]$$y[i]$$x[i]$$x$

方程式が文脈から外れたときにこの質問が関係ない場合は、詳細を提供させていただきます。

最初に与える方程式は、ローパス FIRフィルター、または期間が有限のインパルス応答を持つ線形フィルターの差分方程式です。私はそれを少し違った方法で書きます（そのため、時間と因果関係が明確に区別されるようにします）。

$f_s[n]$は、離散時間入力シーケンスの平滑化バージョンであり、係数 0.1、0.8、0.1を使用してFIRフィルターにを渡すことにより生成されます。このフィルターの周波数応答は次のとおりです。$f[n]$$f[n]$$[0.1, 0.8, 0.1]$

結局のところ、それは非常に良いローパスフィルターではありません。名前が示すように、ローパスフィルターは高周波数を除去しながら低周波数コンテンツを通過させる必要があります。これは、「ギザギザの」非スムーズ機能が時間とともに急速に変化するため、高周波に関連付けられているため、探している「スムージング」アクションを提供します。

2番目の方程式は、ローパスIIRフィルターの例です。これは、インパルス応答の持続時間が無限の線形フィルターです。フィルターの差分方程式は次のとおりです。

ここで、はフィルター入力、はフィルター出力です。このタイプのフィルターは、複雑度の低いローパスフィルターとしてよく使用され、リーキーインテグレーターとも呼ばれます。その単純な実装、低い計算の複雑さ、およびその調整可能性のために好まれます：そのカットオフ周波数は値に依存します。は間隔で値を取ることができます。は、フィルタリングをまったく行いません（出力は入力と同じです）。増加、フィルタのカットオフ周波数が低下します。と考えることができます$x[n]$$y[n]$$\alpha$$\alpha$$[0,1)$$\alpha = 0$$\alpha$$\alpha = 1$ カットオフ周波数が無限に低い境界ケースとして（フィルター出力は常にゼロです）。

例として、場合、フィルターの周波数応答は次のようになります。$\alpha = 0.8$

FIRの例よりも優れたフィルターです。帯域の上端に向かって周波数の減衰が大幅に改善されます。（フィルター出力からその入力へのフィードバックのため）差分方程式を見ても明らかではないかもしれませんが、ローパスの性質により、入力に対して平滑化を効果的に実行します。この説明がアプリケーションにとって特に意味があるかどうかはわかりませんが、これらはかなり基本的な信号処理の概念です。入門DSPテキストのいくつかの調査は、ギャップを埋めるのに役立ちます。

編集：リクエストにより、同じ軸に両方の応答を示すプロットは次のとおりです。FIRサンプルフィルターによって提供される比較的貧弱な減衰を示しています。