スパース性の正確な尺度は何ですか？

私は現在、圧縮センシングと信号、具体的には画像のスパース表現に取り組んでいます。

「スパース性の定義とは何ですか？」という質問をよく受けます。「信号のほとんどの要素がゼロまたはゼロに近い場合、フーリエやウェーブレットなどのドメインでは、この信号はその基準でスパースです。」しかし、この定義には常に問題があります。「ほとんどの要素はどういう意味ですか？90パーセントですか？80パーセントですか？92.86パーセントですか！」ここで私の質問が発生しますが、スパース性の正確な、つまり数値的な定義はありますか？

「スパース性の正確な、つまり数値的な定義はありますか？」そして数値によって、計算可能と実際に「使用可能」の両方を理解しています。私の見解は、次のとおりです。少なくとも、まだコンセンサスはありませんが、価値のある候補者はいます。最初のオプション「ゼロ以外の項のみをカウントする」は正確ですが、非効率的です（数値近似とノイズに敏感で、最適化は非常に複雑です）。2番目のオプション「信号のほとんどの要素がゼロまたはゼロに近い」は、「ほとんど」と「近く」のどちらかでかなり不正確です。

したがって、「スパース性の正確な測定」は、より正式な側面なしでは、とらえどころのないままです。ハーレーとリッカードで行われたスパース性を定義する最近の1つの試み、2009 比較スパース性の測定、IEEE Transactions on Information Theory。

彼らのアイデアは、優れたスパース性測定が満たすべき一連の公理を提供することです。例えば、信号は、$x$非ゼロ定数を乗じた $\alpha x$、同じスパース性を有するべきです。言い換えると、スパース性の尺度は$0$必要があります。Funnily、$\ell_1$圧縮センシングにおいて、又は投げ縄回帰でプロキシである $1$ -homogeneous。これは確かに、すべての標準または準規範のためのケースです$\ell_p$、彼らは（非堅牢な）のカウントメジャーをする傾向がある場合でも、 $\ell_0$として$p\to 0$。

したがって、彼らは富の分析から借用した6つの公理、計算の実行について詳しく説明します。

• ロビンフッド（裕福な人から奪い、貧しい人に与えると希薄さを減らす）、
• スケーリング（定数乗算はスパース性を維持します）、
• Rising Tide（同じゼロ以外のアカウントを追加するとスパース性が低下します）、
• クローニング、（データジャムのスパース性を複製）
• ビルゲイツ（1人の男性が裕福になるとスパース性が増します）、
• 赤ちゃん（ゼロの値を追加するとスパース性が増加します）

$\ell_1/\ell_2$$p$$q$ $\ell_p/\ell_q$$x$$0< p\le q$

$1$$x$

$c_{(k)}$$C_\alpha .(k)^{-\alpha}$$\alpha$