ディラックデルタ（インパルス）信号は電力信号ですか、それともエネルギー信号ですか？

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この質問が非常に基本的なものである場合、私は初心者です。ディラックのインパルスには有限の面積、つまり1があります。しかし、 $|\delta(t)|^2$ 未定義です。だから下のエリア $|\delta(t)|^2$ また、未定義であり、信号は常に存在しません $t$ そのため、電力信号にすることはできません。だから、私の推測では、電力信号でもエネルギー信号でもない。私は正しいですか？

signal-power signal-energy

— ヘンドリーニューマン
ソース

去る

| δ |^{2}

$|\delta|^2$ undefinedは、その積分が無限であることを意味しません。定義がない理由は、それを定義する一貫した方法がないためです。ディラック分布を単位面積関数の限界として定義するアプローチを採用し、サポートが0に近づくと、その関数の2乗は、希望するものに対して単純に収束できます。したがって、二乗はディラック分布の定義特性によって暗示されません。

— Jazzmaniac 2017

具体的には、次のように収束する一連の関数を定義できます。

| δ |

$|\delta|$ そのため、その点ごとの正方形の面積が0またはその他の負でない数に収束します。

— Jazzmaniac 2017

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はい、間違いを理解しました。しかし、Parsevalの方程式solving∞−∞ | x（t）| 2dt = ∫∞−∞ | X（f）| 2dfを解くと、単位インパルス信号のエネルギーEω= ∫∞−∞ | 1 | 2df =∞になります。エネルギーを無限大と定義するこのアプローチは問題ありませんか？

— Hendry Newman

@Jazzmaniac オブジェクトを定義するとどうなりますか

δ (t)^{2}

$\delta(t)^2$ それ自体が通常の機能の制限として、（通常のように

δ (t)

$\delta(t)$ 以下のように定義されています）：

δ (t)^{2} = lim_{Δ \to 0} F_{Δ} (t)

$\delta(t)^2 = \lim_{{\Delta} \rightarrow 0} F_{\Delta}(t)$ どこ

F_{Δ} (t) = p_{Δ} (t) p_{Δ} (t) = p_{δ} (t)^{2}

$F_{\Delta} (t) = p_{\Delta}(t) p_{\Delta}(t) = p_{\delta}(t)^2$ ...したがって、少なくとも、一般化された関数の二乗の性質について自問することはありません。むしろ、それ自体は、

δ (t)

$\delta(t)$ 、直接定義されています...それは役に立ちますか？

— Fat32

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覚えておくべき簡単なステートメント：「ディラックデルタは整数記号の下でのみ意味をなす」

— パーカッション

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[流通製品に関するシュワルツの不可能性定理に関する参考文献を追加]

連続ディラックデルタ $\delta$ 真の関数または信号ではなく、分布と見なされます。ウィキペディアのページから：

デルタ関数は、1次元の場合とまったく同じように分布という意味でも定義できます。[25] ただし、分布の積は 非常に狭い状況でのみ定義できるため、エンジニアリングコンテキストで広く使用されているにもかかわらず、（2）は注意して操作する必要があります。

これは、次のように定義できます。 $f$ いくつかの重要な特性を満たすために、そして $a\in \mathbb{R}$ ：

\int f (t) δ (t - a) d t = f (a) .

$\int f(t)\delta(t-a)dt=f(a).$

私の知る限りでは、これらの重要な特性は $\delta$ なので、直接置き換えることはできません $f$ 沿って $\delta$ 意味のある結果が得られます。知っている限りでは、2つのディラック分布の積は、1つが話さない限り、明確に定義されていません $n$ 3次元バージョン、またはたとえば物理学で使用されるいわゆる「正式な」操作、またはより複雑な数学。ニコラスウィーラーは、ディラックのデルタ関数IDの簡略化された生成について簡単に説明しています。さらに深く掘り下げたい場合は、2005年にTa Ngoc Triによる一般関数のコロンボー理論を提案します。

L.シュワルツは自身の理論を導入してすぐに、2つの任意の分布の積について不可能な結果（[Sch54]を参照）を示した論文を発表しました。

1つの結果は、 シュワルツ不可能結果です。それは（どういうわけか）ライプニッツの導出のルールを維持しながら継続的に微分可能な関数の導関数を包含したい場合、 $\delta^2(|x|)=0$ 。

ただし、非公式な観点から見ると、DSP（および物理学）で使用されることもあるこの「製品」は、私の知る限り、エネルギーでも電力でもありません。ただし、論理的な観点からは、それが存在しない場合、この「製品」に多くのプロパティに影響を与える可能性があります...

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— ローランデュバル
ソース

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この製品はエネルギーでもパワーでもないと言うとき、あなたは機能の意味で意味しますか

x (t) = t u (t)

$x(t) = t u(t)$ エネルギーでも電力信号でもありません（無限のエネルギーと無限の平均電力があるため）？それとも、定義されていない（または決定できない）という意味ですか？

— Fat32 2017

私は私の答えを費やしていて、@ endolith（良い動きで）がいくつかの編集を行い、私の修正が失われました（Chromeを使用しているため）。したがって、やり直すエネルギーが見つかるまで：まず、エネルギー/電力特性を評価できるDSPに役立つ、ユニークで十分に根拠のあるディラックの正方形の定義を見つける方法がない限り、（IMO）ではありません伝統的な平凡な方法。第二に、一意でないか決定できない場合、「電力/エネルギーではない公理」を追加することを選択する必要があります。そのような製品は、現時点では私の心にはワイルドすぎる（たとえば

i \times i

$i\times i$ 過去）

— Laurent Duval

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$\delta(x)$ 実際には存在しないすべてのいずれかの特定のために $x$ 。ローランデュバルが言ったように、ディラックは $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 関数ではなく、マッピング全体は、関数であり、特定のポイントで評価された関数の値に関数をマッピングします。おそらく、ような専用の記号でそれを反映することは理にかなっています（これは、書き込みに理にかなっている理由、それがあるかのようであった関数は、任意の点である正方形積分関数類似に機能的に生じさせますつまり、

∖ f \mapsto f (a) \equiv ‘ ‘ \int_{R} d t f (t) \cdot δ (t - a) "

$\backslash f \mapsto f(a) \equiv ``\int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}t\: f(t) \cdot \delta(t-a)"$

\int δ_{a} d t f (t) .

$\int\!\!\!\!\delta_a\mathrm{d}t\: f(t).$

δ

$\delta$

R \to R

$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

g

$g$

γ : L^{2} (R) \to R, γ (f) = \int_{R} d t f (t) \cdot g (t) .

$\gamma : L^2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}, \quad \gamma(f) = \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}t\:f(t)\cdot g(t).$ これは、実際にはと間のスカラー積です。関数空間はヒルベルト空間です。ディラックデルタ表記の利点は、このような実関数汎関数とディラック汎関数の重ね合わせを記述できることです。たとえば、ハイパスインパルス応答これは実際には実装できない関数であり、概算のみですが、概念を捉えています。

L^{2}

$L^2$

f

$f$

g

$g$

L^{2}

$L^2$

δ (t) - \sqrt{\frac{ω_{0}}{2 π}} \cdot \exp (- t^{2} \cdot \frac{ω_{0}^{2}}{2}) .

$\delta(t) - \sqrt{\frac{\omega_0}{2\pi}}\cdot\exp(-t^2\cdot\tfrac{\omega_0^2}2).$ 本当にのようなインパルス応答に関係しますが、実際の実世界の信号とそれを折るの結果によると、それが定義されて一体化し提供折りたたみされないが、高域通過フィルタのさんを意味。）

δ

$\delta$

したがって、は関数ではないため、と記述しても意味がないと考える理由はありません。その式では、変数に対して実行される積分の下でデルタが1回だけ発生しないからです。あなたがその周りに積分を書いたとしても、それは常にその中に同じパラメーターを持つ2つのデルタを持ち、それは定義されていません。 $\delta$ $|\delta(t)|^2$

要約：あなたが正しい、ディラックは信号でも、力でもエネルギーでもありません。

— 左回り
ソース

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ラテックスのフォーマットが壊れているようです。Latexの数式エディター/コンバーターを使用しましたか、それとも意図的なものですか？

— Jazzmaniac 2017

@Jazzmaniac私のブラウザーでは書式設定は問題あり\mathbb{R}ませんでしたが、LaTeXの代わりに誤っていくつかのUnicodeℝを使用していたため、MathJaxが確実にサポートしていない可能性があります。レンダリングできますか？

— leftaroundabout

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ディラックのデルタインパルスの2乗は未定義であるため、ディラックのインパルスを含む信号に対してエネルギーとパワーを通常の方法で定義することはできません。

ただし、離散時間信号と同様に、ディラックインパルスからなる信号のエネルギーとパワーは次のように定義するのが一般的です。信号が $x(t)$

\begin{matrix} (1) & x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} δ (t - t_{n}) \end{matrix}

$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(t-t_n)\tag{1}$

そのエネルギーは次のように定義できます

\begin{matrix} (2) & E_{x} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} | a_{n} |^{2} \end{matrix}

$E_x=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|a_n|^2\tag{2}$

そしてその力はによって定義することができます

\begin{matrix} (3) & P_{x} = lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \sum_{n : | t_{n} | < T} | a_{n} |^{2} \end{matrix}

$P_x=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\sum_{n:\;|t_n|<T}|a_n|^2\tag{3}$

定義およびを使用すると、ディラックインパルスで構成される信号は、エネルギー信号（）または電力信号（、）のいずれか、または2つ（と両方が存在しない）。 $(2)$ $(3)$ $E_x<\infty$ $E_x\rightarrow\infty$ $P_x<\infty$ $(2)$ $(3)$

— マットL.
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二乗がどの分布に対しても定義されていないという一般化は正確ではありません。少なくとも、用語「分布」の追加の修飾がない限り、正確ではありません。

— Jazzmaniac 2017

@Jazzmaniac：回答に役立つものは何も追加されていないため、一般的なディストリビューションへの参照を削除しました。ちなみに、その主張は工学文献から得られたものであり、分布に関する詳細に関しては実際には不正確である可能性があります。

— Matt L.

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あなたはここで素晴らしい答えを得ましたが、私はそれを簡単な方法で説明しようとしています：インパルスは、任意の形状の短いブリップを除いて完全にゼロである信号です。たとえば、電子機器はナノ秒単位で応答するため、マイクロ波送信機へのインパルスはピコ秒の範囲でなければならない場合があります。比較すると、何年も噴火する火山は、数千年にわたる地質学的変化への完全に良い衝動かもしれません。数学者は特定のシステムに制限されることを好みません。一般に、インパルスという用語は、どのシステムにとってもインパルスになるのに十分短い信号を意味するために使用されます。それは無限に狭い信号であり、再び数学者はインパルスを次のように定義します。1.無限に短い信号2.時間0で発生するパルスと3.パルスは1の面積を持っている必要がある[By Steven W. Smith]

— Sファテリ
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