負の周波数の物理的意義は何ですか？

これは私のDSP理解のチェダーチーズブロックの穴の1つでしたが、負の周波数を持つことの物理的な解釈は何ですか？

ある周波数で物理的なトーンがあり、それがDFTされている場合、正と負の両方の周波数で結果が得られます。これはなぜ、どのように発生しますか どういう意味ですか？

編集：2011年10月18日。私は自分で答えを提供しましたが、負の周波数が存在しなければならない理由の根を含むように質問を拡大しました。

負の周波数は正弦波にはあまり意味がありませんが、フーリエ変換は信号を正弦波に分解せず、複素指数関数（「複素正弦波」または「シソイド」とも呼ばれます）に分解します。

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \color{Red}{e^{- j\omega t}}\,dt$$

これらは実際にはらせんであり、複雑な平面内で回転します。

（ソース：リチャードライオンズ）

スパイラルは左利きまたは右利き（時計回りまたは反時計回りに回転）のいずれかです。これが負の周波数の概念の由来です。また、時間的に前後に進む位相角と考えることもできます。

実信号の場合、常に2つの等しい振幅の複素指数が反対方向に回転するため、実部が結合し、虚部が相殺され、結果として実正弦のみが残ります。これが、正弦波のスペクトルに常に2つのスパイク、1つの正の周波数と1つの負の周波数がある理由です。2つのスパイラルの位相に応じて、それらは相殺され、純粋に実際の正弦波、実際の余弦波、または純粋に虚数の正弦波などが残ります。

負の周波数成分と正の周波数成分は両方とも実信号を生成するために必要ですが、実信号であることを既に知っている場合、スペクトルの反対側は余分な情報を提供しないため、多くの場合、手作業で無視されます。複雑な信号の一般的なケースでは、周波数スペクトルの両側を知る必要があります。

糸車があったとしましょう。回転速度をどのように説明しますか？おそらく、X毎分回転数（rpm）で回転していると言うでしょう。さて、この数字でどの方向に回転しているかをどのように伝えますか？X時計回りまたは反時計回りに回転している場合、同じrpmです。だから、頭をかいて、よく言ってください、ここに賢明なアイデアがあります：+X時計回りと-X反時計回りに回転していることを示すために、私はの規則を使用します。出来上がり！負のrpmを発明しました！

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負の周波数は、上記の簡単な例と変わりません。負の周波数がどのようにポップアップするかについての簡単な数学的説明は、純粋なトーンの正弦波のフーリエ変換から見ることができます。

複素正弦波のフーリエ変換ペアを考えてみましょう：（定数乗数項を無視）。純粋な正弦波（実数）の場合、オイラーの関係から次のようになります。$e^{\jmath \omega_0 t}\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0)$

$$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$$

したがって、そのフーリエ変換ペア（ここでも、定数乗数は無視されます）：

$$\cos(\omega_0 t)\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)$$

定義により、正の周波数と負の周波数の2つの周波数があることがます。の複雑な正弦波は、数学計算を単純化するのに非常に役立つため、広く使用されています。ただし、周波数は1つしかなく、実際の正弦波には実際には2つあります。$\omega_0$$-\omega_0$$ae^{\jmath \omega_0 t}$

現在、私の視点（変更される可能性があります）は次のとおりです

正弦波の繰り返しでは、正の周波数のみが意味をなします。物理的な解釈は明確です。複雑な指数関数の繰り返しでは、正と負の両方の周波数が意味をなします。負の周波数に物理的な解釈を付けることができる場合があります。負の周波数の物理的な解釈は、繰り返しの方向に関係しています。

Wikiで提供される頻度の定義は次のとおりです。「頻度とは、単位時間あたりの繰り返しイベントの発生数です」

この定義に固執する場合、負の周波数は意味をなさないため、物理的な解釈はありません。ただし、この周波数の定義は、方向を持つこともできる複雑な指数関数的繰り返しに対して完全ではありません。

負の周波数は、信号またはシステム分析を行うときに常に使用されます。これの基本的な理由は、オイラー公式および複素指数関数がLTIシステムの固有関数であるという事実です。

$$e^{j\omega n} = \cos( \omega n) + j\, \sin(\omega n)$$

通常、正弦波の繰り返しは興味深いものであり、正弦波の繰り返しを間接的に取得するために複素指数の繰り返しがよく使用されます。この2つが関連していることは、複素指数を使用して記述されたフーリエ表現を考慮することで簡単に

$$x[n]= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\!\!\!d\omega \;\;\;\;X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}$$

ただし、これは次と同等です

$$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\;[a(\omega) \cos(\omega n) + b(\omega) \sin(\omega n)] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\; \alpha(\omega) \sin(\omega n + \phi(\omega))]$$

したがって、正の「正弦波周波数軸」を考慮する代わりに、負および正の「複素指数周波数軸」が考慮されます。実信号の「複素指数周波数軸」では、負の周波数部分が冗長であり、正の「複素指数周波数軸」のみが考慮されることがよく知られています。このステップを暗黙的に行うことで、周波数軸は正弦波の繰り返しではなく複素指数の繰り返しを表すことがわかります。

複素指数の繰り返しは、複素平面内の円形回転です。正弦波の繰り返しを作成するには、時計回りに1回、時計回りに1回の繰り返しの2つの複雑な指数繰り返しが必要です。複雑な平面で正弦波の繰り返しがどのように作成されるか、つまり反対方向に回転する2つの物理的に回転するデバイスによって引き起こされる正弦波の繰り返しを生成する物理デバイスが構築されている場合、回転デバイスの1つは負であると言うことができます周波数、したがって負の周波数には物理的な解釈があります。

多くの一般的なアプリケーションでは、負の周波数には直接的な物理的意味はまったくありません。抵抗、コンデンサ、インダクタを備えた電気回路に入力電圧と出力電圧がある場合を考えます。1つの周波数の実際の入力電圧があり、同じ周波数で振幅と位相が異なる単一の出力電圧があります。

この時点で複雑な信号、複雑なフーリエ変換、フェーザー計算を考慮する唯一の理由は数学的に便利です。完全に本物の数学でも同じことができますが、それははるかに難しいことです。

さまざまなタイプの時間/周波数変換があります。フーリエ変換は、その基底関数として複素指数を使用し、単一の実数値正弦波に適用されると、正と負の周波数として解釈される2つの値の結果を生成します。負の周波数をまったく生成しない他の変換（離散コサイン変換など）があります。繰り返しますが、それは数学的な利便性の問題です。多くの場合、フーリエ変換は特定の問題を解決するための最も迅速で効率的な方法です。

負の周波数を理解するには、フーリエ変換または級数を調べる必要があります。実際、フーリエは、いくつかの正弦波を使用してすべての波を表示できることを示しました。各正弦波は、この波の周波数に2つのピークがあり、1つは正の側に、もう1つは負の側にあります。したがって、理論的な理由は明らかです。しかし、物理的な理由から、負の周波数は数学的な意味にすぎないと人々は言うのが常です。しかし、私は物理的な解釈を推測しますが、私はよくわかりません。波についての議論の中心として円運動を研究するとき、半円上の運動の速度の方向は、もう半分の逆です。これが、各正弦波の周波数領域の両側に2つのピークがある理由です。

負の距離の意味は何ですか？1つの可能性は、連続性のためであるため、赤道を横切るたびに惑星地球をひっくり返したり、連続的な1次導関数を使用して位置を北にプロットしたりする必要はありません。

搬送波周波数よりも広い変調でFM変調などを行う場合は、周波数と同じです。どのようにプロットしますか？

問題について簡単に考える方法は、定在波を画像化することです。（時間領域の）定在波は、正と負のkベクトルを持つ周波数領域、または同等の+ wと-wの2つの反対方向に移動する進行波の合計として表すことができます。ここに、FFTに2つの周波数成分がある理由についての答えがあります。FFTは基本的に、時間領域で関数を表す逆方向に進行する波の多くの合計（畳み込み）です。

かつては、パワーを正解するために、答えを2倍にしなければなりませんでした。しかし、負の無限大から正の無限大まで積分すると、任意のdoubleなしで正しい答えが得られます。そこで彼らは、マイナスの頻度がなければならないと言った。しかし、誰も実際にそれらを見つけたことがありません。したがって、それらは想像上のものであるか、少なくとも物理的な観点からは説明のつかないものです。

これは非常にホットなトピックであることが判明しました。

豊富で質の良い多様な意見や解釈を読み、問題をしばらく頭の中で煮詰めた後、負の周波数現象の物理的解釈があると思います。そして、私はここでの重要な解釈は、フーリエが時間に盲目であるということだと信じています。これについてさらに詳しく説明します。

周波数の「方向」について、そしてそれが+ veまたは-veになる方法について多くの話がありました。これについての著者の包括的な洞察は失われていませんが、この声明は時間的頻度の定義と矛盾しているため、最初に用語を非常に慎重に定義する必要があります。例えば：

• 距離はスカラー（+ veのみ）であり、変位はベクトルです。（つまり、方向を持ち、見出しを示すために+ veまたは-veにすることができます）。

• 速度はスカラー（+ veのみ可能）であり、速度はベクトルです。（つまり、方向があり、+ veまたは-veにすることができます）。

したがって、同じトークンにより、

• 時間周波数はスカラーです（+ veのみ可能）！周波数は、単位時間あたりのサイクル数として定義されます。これが受け入れられている定義である場合、「異なる方向」に進んでいると単純に主張することはできません。結局、スカラーです。代わりに、新しい用語-周波数に相当するベクトルを定義する必要があります。ここではおそらく「角周波数」が正しい用語であり、実際、まさにデジタル周波数が測定するものです。

今、私たちは突然、単位時間あたりの回転数（方向を持つことができるベクトル量）を測定するビジネスにいます。

したがって、負の周波数の物理的解釈について尋ねるとき、ビーチの波、ワイヤー上の正弦波AC電流などのいくつかの物理現象の単位時間あたりの振動数のスカラーおよび非常に現実的な測定方法について暗黙のうちに尋ねていますこの角周波数にマッピングすると、今度は突然すべての方向が時計回りまたは反時計回りになります。

ここから、負の周波数の物理的解釈に到達するには、2つの事実に注意する必要があります。1つ目は、フーリエが指摘したように、 スカラーの時間周波数fを持つ振動実音は、ベクトル角周波数+ wと-wを一緒にした2つの振動複素音を追加することで構築できることです。

$$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$$

それは素晴らしいですが、それで何ですか？さて、複雑なトーンは互いに反対方向に回転しています。（セバスチャンのコメントも参照）。しかし、角周波数にベクトル状態を与える「方向」の重要性は何ですか？回転方向にどの物理量が反映されていますか？答えは時間です。最初の複素音では、時間が+ ve方向に移動し、2番目の複素音では、時間が-ve方向に移動します。時間は後戻りしています。

これを念頭に置いて、一時的な周波数が時間に関する位相の最初の導関数であることを思い出すために迅速な転換を行ってください（時間の経過に伴う位相の変化）、すべてが適切になり始めます：

負の周波数の物理的な解釈は次のとおりです。

私の最初の認識は、フーリエは時間に依存しないということでした。つまり、考えてみると、フーリエ分析や変換自体には、時間の「方向」が何であるかを示すものは何もありません。ここで、あるスカラーの時間周波数fで振動する物理的に振動するシステム（つまり、ワイヤー上の実際の正弦波）を想像してください。

進行するにつれて時間の前方にこの波を見下ろすことを想像してください。次に、さらに進んだ各時点での位相の差を計算することを想像してください。これにより、スカラーの時間周波数が得られ、周波数は正になります。ここまでは順調ですね。

しかし、ちょっと待ってください-フーリエが時間に盲目である場合、なぜ「前方」の時間方向の波だけを考慮すべきなのでしょうか？時間内にその方向について特別なことは何もありません。したがって、対称性によって、時間の他の方向も考慮する必要があります。したがって、同じ波を「見上げて」（つまり、時間を遡って）、同じデルタ位相計算を実行することを想像してください。時間は逆になり、周波数は位相変化/（負の時間）なので、周波数は負になります！

フーリエが実際に言っているのは、周波数ビンfで時間的に前方に再生されるとこの信号にエネルギーがあり、周波数ビン-fで時間的に後方に再生されるとエネルギーもあるということです。ある意味で、Fourierには時間の「真の」方向が何であるかを「知る」方法がないため、これを言わなければなりません！

では、Fourierはこれをどのようにキャプチャしますか？さて、時間の方向を示すためには、何らかの回転が必要です時計回りの回転は、時間の順方向矢印の信号を「見る」ことを意味し、反時計回りの回転は、時間を遡るかのように信号を「見る」ことを意味するように採用されます。私たちがよく知っているスカラー時間周波数は、ベクトル角周波数の（スケーリングされた）絶対値に等しくなるはずです。しかし、1サイクル後に正弦波の変位を示す点が開始点に到達し、同時に円の周りを回転し、それが示す時間周波数の発現を維持する方法はありますか？その円の主軸が、元の正弦波に対するこの点の変位の測定で構成され、正弦波が90度ずれている場合のみ。（これは、FourierがDFTを実行するたびに予測するサインとコサインのベースを正確に取得する方法です！）そして最後に、これらの軸をどのように分離したままにするのでしょうか？'j'は、どちらの領域でも実数と虚数を加算して新しい数を生成することはできないため、各軸の大きさが常に他の軸の大きさに依存しないことを保証します。（ただし、これは単なる補足です）。

したがって、要約すると：

フーリエ変換は時間に依存しません。時間の方向を伝えることはできません。これは負の周波数の中心です。周波数=位相変化/時間であるため、信号のDFTを取得するときはいつでも、Fourierは、時間が進んでいる場合、エネルギーは+ ve周波数軸上にありますが、時間が遅れている場合、エネルギーは-ve周波数軸上にあります。

私たちの宇宙が以前に示したように、フーリエは時間の方向を知らないため、DFTの両側が対称でなければならず、負の周波数の存在が必要であり、実際非常に現実的である理由です。