正規化された周波数とは

DSPに取り組んでいますが、DFTおよびDTFTでよく使用される正規化周波数という用語を理解するのが困難です。

DSPの正規化周波数とは何ですか？そしてそれはアナログ周波数とどう違うのですか？

DSPで周波数を正規化する意味は何ですか？

正規化された周波数の限界が2πであるのはなぜですか？

FFTは正規化された周波数をどのように扱いますか？

dft

正規化された周波数は、デジタル信号を表すための周波数軸として一般的に使用されるサイクル/サンプルまたはラジアン/サンプルの単位の周波数です。

単位がサイクル/サンプルの場合、サンプリングレートは1（サンプルあたり1サイクル）で、最初のナイキストゾーンの一意のデジタル信号は、サンプルあたり-0.5から+0.5サイクルのサンプリングレートで存在します。これは、秒などの実際の時間間隔ではなく、サンプルの単位で時間軸を表すことと同等の頻度です。

単位がラジアン/サンプルの場合、サンプリングレートは $2\pi$ （ $2\pi$ サンプルあたりのラジアン）および最初のナイキストゾーンの固有のデジタル信号は、 $-\pi$ に $+\pi$ 。

これがどのように行われるかは、次の式からわかります。

として与えられるアナログ信号の場合

バツ （ t ） = 罪 （ 2 π F t ）

$x(t)=\sin(2\pi F t)$ ここで、FはHz単位のアナログ周波数単位です。

のサンプリング周波数でサンプリングした場合 $F_s$ Hz、サンプリング間隔は $T_s=1/F_s$ したがって、サンプリング後の信号は次のようになります。

バツ （ ん T_{s} ） = 罪 （ 2 π F ん T_{s} ） = 罪 （ \frac{2 π F}{F_{s}} ん ）

$x(nT_s)=\sin(2\pi F nT_s) = \sin\left(\frac{2\pi F}{F_s}n\right)$

正規化された周波数の単位、 $\frac{F}{F_s}$ サイクル/サンプルまたは $\frac{2\pi F}{F_s}$ ラジアン/サンプルで明確に示されています。

これは以下を使用して説明されています $\Omega = 2\pi F$

更新： @ Fat32がコメントで指摘しているように、サンプリングレートの単位 $F_s$ 下の図では、正規化された周波数がラジアン/サンプルになるように、「サンプル/秒」にする必要があります。

「ラジアン/サンプル」の概念（および周波数と時間を扱う他のほとんどのDSPの概念）を視覚的に見ると、個々の周波数トーンを正弦波および/または余弦波として見るのではなく、代わりにそれらを回転フェーザーとして見ることができました（ $e^{j\omega t} = 1 \angle (\omega t)$ ）下の図に示すように、2 Hzの速度で回転する複雑なフェーザーと、それに関連する余弦と正弦（実数軸と虚数軸）を示しています。DFTの各ポイントは、時間内の単一の回転フェーザーとして表される個別の周波数トーンです。アナログシステムのこのようなトーンは、1秒あたりF回転（FはHzまたはサイクル/秒の周波数）で連続的に回転します（正の周波数の場合は反時計回り、負の周波数の場合は時計回り）。いったんサンプリングされると、回転は同じ速度になりますが、各サンプルがラジアンの一定の角度になる個別のサンプルになります。したがって、周波数は、フェーザの回転速度を表すラジアン/サンプルとして定量化できます。

— ダンボシェン
ソース

私はコーヒーを半分しか飲まなかった！完全な間違い、修正済み

— Dan Boschen 2017年

FFTは、通常、周波数インデックスと呼ばれる周波数軸にさらに別の単位を使用します。これは、0からN-1までの周波数インデックスと呼ばれ、NはFFTで使用されるサンプルの数です。これは、Nを1サイクル/サンプルに等しくすることにより、正規化周波数にマッピングされます。したがって、FFT周波数をNで割ると、サイクル/サンプルで正規化周波数が得られます。たとえば、100 HzでサンプリングされたシステムのFFTに10個のサンプルがある場合、FFT結果の周波数ビンは0、10、20 .... 90 Hzになります。N-1 = 9、100 Hzは1サイクルあたり1サンプルを表します。お役に立てば幸いです。

— Dan Boschen 2017年

はい、わかりました。サンプリングレートは、「秒あたりのサンプル数」の単位で指定する必要があります。良い点は@ Fat32です。一貫した単位が重要です。

— Dan Boschen 2017年

@ user6363サンプリングレートは1サイクル/サンプルです。正規化周波数を使用すると、サンプリングレートが1（サンプルあたりのサイクル）になると、たとえば、サンプリングレートが100 MHzの場合、100 MHzが1にマップされ、トーンが発生します。たとえば、25 MHzでは、0.25（サイクル/サンプル）にマッピングされます。単位がラジアン/サンプルの場合、100 MHzのサンプリングレートは次のようにマッピングされます。

2 π

$2\pi$ 25 MHzのトーンは、

0.5 π

$0.5\pi$ 。私の例では、波形は、ラジアン/サンプルの正規化されたスケールで+6π/ 20の帯域幅で拡大しています。サンプリングレートが100 MHzの場合、+ /-3/20 * 100 MHz = +/- 15MHz

— Dan Boschen

いいえ、ビン9は90 Hzだと言っていました。bin [9]が-10 Hzであることも正しいです。iとFat32の両方が投稿した周波数のグラフを見ると、0からFsまでの周波数が0からFs / 2および-Fs / 2から0と同じであることがわかります。したがって、100 Hzシステムの10 pt FFTの場合、周波数は両方とも0、10、20、30、40、50、60、70、80、90であり、等しく0、10、20、30、40、50、- 40、-30、-20、-10！この変換を行うMatlabのFFTSHIFTを確認してください。これがまだ混乱している場合、これは尋ねるのに適した別の質問になります（または、既に回答されている場合は検索します）

— Dan Boschen

次の図は、連続時間信号のサンプリングの結果としての周波数正規化手順の簡略化されたグラフィック表示も示しています

— Fat32
ソース