パワー信号としてのランダム信号

ランダム信号がパワー信号（つまり、無限のエネルギーと有限の平均パワーを持つ信号）と見なされるのはなぜですか？

これは意味がありますか？現実の信号（通常は固有のランダム性がある信号）には有限のエネルギーがあることはわかっていますが、ランダムな信号が無限のエネルギーを持っているとはどういう意味ですか？

— たぶん
ソース

真ではない、または半分しか真でない複数のステートメントを作成しています。まず第一に、あなたはあなたのランダム信号のためのモデルを定義します。そのモデルに無限のエネルギーがある場合、それはあなたの責任です。そうすれば、そうです、宇宙は有限であり、太陽はいつか死ぬでしょう。しかし、すべての実際的な目的のために、すべての自然発生のノイズ源は、無限のエネルギー源になる傾向があります。

— マーカス・ミュラー

@MarcusMüllerわかりました。つまり、基本的に、これはノイズが自然発生するソース（たとえばブラウン運動など）から発生するランダム信号にのみ当てはまるということです。あれは正しいですか？

— おそらく2017年

いいえ、それは正しくありません。

— マーカス・ミュラー

同じように

\sin (w t)

$\sin(wt)$ は無限の範囲を持ち、数学的構造であり、物理的（実用的）現実ではありません。ランダムプロセスの数学的定義は無限のエネルギーを持つ必要があります。エネルギー積分は収束できないため、

X (t)

$X(t)$ ゼロになる

t

$t$ 無限大になります（積分を収束させるにはこれを示す必要があるため）。見せられたら

X (t)

$X(t)$ tが無限大になると、決定論的な信号になります...（その値は、限界値である0で確実に予測されるため）。

— Fat32

はい、ランダムプロセスの数学的定義についてです。一方、実際のアプリケーションでは、そのようなプロセスの有限範囲のみが観察されるため、エネルギーは大きくても有限になります。この問題は、DC信号の観察と同様です。真のDC信号は、無限の範囲、つまり無限のエネルギーを持つ必要があります。しかし、実用的なものはしません。この事実の結果として、真のDCのフーリエ変換はインパルス（振幅無限大）ですが、ウィンドウ化された（実用的な）DCのFTは、sincパルス、有限値、有限エネルギーです。

— Fat32

回答:

条件に注意してください

\begin{matrix} (1) & \int_{- \infty}^{\infty} | f (t) |^{2} d t < \infty \end{matrix}

$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt<\infty\tag{1}$

（つまり、信号 $f(t)$ 実際に発生する信号には有限のエネルギーが必要であることは明らかですが、信号をモデル化しようとすると、有限のエネルギーがあります）。信号をランダムプロセスとしてモデル化すると、条件が無視されます $(1)$ 。モデルは常にある程度非現実的ですが、信号には有限のエネルギーがあり、それらのモデルには有限のエネルギーがありませんが、多くの信号はランダムなプロセスによって非常にうまく記述できます。多くの場合、モデルのこの側面は無関係です。

この事実を少しよく理解するのに役立つ1つの例は、（広義の）定常プロセスの頻繁に使用されるモデルです。このようなプロセスの特定の統計的特性は、時間の経過とともに変化せず、その結果、そのようなプロセスの実現は、一般的に次のように減衰しません。 $t\rightarrow\pm\infty$ 、および $(1)$ 特定の有限の時間枠でのそのプロセスのプロパティのみに関心がある場合でも、通常は満足されません。ただし、そのようなプロセスに対してパワーとパワースペクトルを定義することができ、最も実用的なプロセスは有限のパワーを持っています（または簡単に有限のパワーを作ることができます）。

— マットL.
ソース

「信号をランダムプロセスとしてモデル化するということは、条件（1）を無視することを意味します」これは、ランダム信号は有限のエネルギーを持つことはできず、有限の力しか真ではないという記述が正しいことを意味しますか？同じことを2度尋ねているように見えても申し訳ありませんが、私は本当に混乱しており、その質問に対する明確な答えが必要だと思います。

— 2017年

@同様：ランダムプロセスの特定の実現は理論的に有限のエネルギーを持つことができたとしても、それは本当です。

— Matt L.

シンプルだと思います。

分析のためにランダムな物理現象をモデル化します。1つの方法は、確率的プロセスによってモデル化することです $X(t)$ 、すなわちランダム変数の時系列 $\left\lbrace X(t_k) = X(t=t_k), t_k \in \mathbb{R} \right\rbrace$ 。

確率変数 $X(t_k)$ 分析のために、いくつかの有限モーメント（通常の場合、1次モーメントと2次モーメントは平均と分散に相当）を持つ確率分布関数（PDF）に関連付けられています。

確率変数の結果が $X(t_k)$ 確率は非常に低くても無限である可能性があり、（一般的に）確率過程の実現のエネルギーになります $X(t)$ の時間ウィンドウバージョンでは無限 $X(t)$ 。

力はどうですか？

P = lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{- T}^{+ T} | x (t) |^{2} d t

$P=\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T}^{+T} |x(t)|^2 \mathrm{d}t$

パワー $P$ のエルゴード性を仮定することにより、有限と定義できます。 $X(t)$ そして有限の瞬間。

この種のモデルは妥当であると人々は考え、それを使用してみたところ、多くの有用なプロセスに適合することがわかりました。したがって、モデルは保持されます。

— AlexTP
ソース

第4段落のナンセンスの場合は-1。定義により、確率変数は次の値を取ります

R

$\mathbb R$ ではなく

R +

$\mathbb R+$ そしてので実現

X (t)

$X(t)$ 値を持つことはできません

\pm \infty

$\pm \infty$ ゼロ以外の継続時間の間隔にわたって、つまり、時間窓があるかどうかにかかわらず、実現のエネルギーには何も寄与しません。

— Dilip Sarwate 2017年

@DilipSarwateありがとう、変数が値を取る場合、

R +

$\mathbb{R}+$ （である

(0, + \infty) \subset R

$(0,+\infty) \subset \mathbb{R}$ ？）、の実現

X (t)

$X(t)$ 価値がある

\pm \infty

$\pm \infty$ ゼロ以外の期間の間隔で？そして、時間窓のランダム信号が無限のエネルギーを持っていることをどうやって説明できますか？

— AlexTP

確率変数の理論の初歩的な説明では、確率変数はサンプル空間からのマッピングです

Ω

$\Omega$ に

R

$\mathbb R$ そして、結果の存在を否定します

ω

$\omega$ マッピングされている

\pm \infty

$\pm\infty$ ：これらの値は

R

$\mathbb R$ 。より正式な博覧会は範囲を可能にします

R +

$\mathbb R+$ しかし、すべての結果のセットが

\pm \infty

$\pm \infty$ ある確率のイベント

0

$0$ 。今、エネルギーはの積分です

| x (t) |^{2}

$|x(t)|^2$ との瞬間的な値

\pm \infty

$\pm \infty$ エネルギーを伝えません。あなたは必要です

| x (t) |

$|x(t)|$ することが

\infty

$\infty$ 期間がゼロ以外の間隔で...

— Dilip Sarwate 2017年

...そしてあなたのランダムプロセスモデルが数え切れないほど無限に多くを許すなら

X (t_{k})

$X(t_k)$ 価値がある

\pm \infty

$\pm \infty$ の実現なら

X (t)

$X(t)$ 打つことです

\pm \infty

$\pm\infty$ そしてそこに滞在あなたはエネルギーとパワーについての些事よりも心配することはより深刻な問題を抱えている、ゼロ以外の区間について。

— Dilip Sarwate 2017年

@DilipSarwate「ランダムな信号には無限のエネルギーがある」という私の説明は正しくないことに同意します。そして、私が正しく理解していれば、ランダムプロセスモデルは無数の

X (t_{k})

$X(t_k)$ 価値がある

\pm \infty

$\pm \infty$ 私が間違っていたことを証明するために。ランダム信号がエネルギー無限である理由を直感的に教えてくれませんか？Matt Lの回答「信号をランダムなプロセスとしてモデル化することは、有限のエネルギー条件を無視することを意味します」は曖昧に思われます。ありがとう

— AlexTP

MarcusMüllerのコメントに加えて、信号に有限のエネルギーがある場合、信号値は十分な時間が経過するとゼロに到達する必要がありますが、ランダム信号の場合、信号には通常、そのような制限はありません。

— モハマドM
ソース

しかし、あなたが言っていることは、ランダムな信号には有限のエネルギーがないということです!! したがって、彼らには代わりに有限の力があるかもしれないと言うのは正しいです！

— 2017年

抵抗器の熱雑音を考えてみてください。その抵抗器の温度を永遠にゼロ以外に保つことができれば、熱雑音には無限のエネルギーがあります。つまり、その抵抗器の熱雑音からエネルギーを排出できた場合、その温度は下がらない限り低下します。その抵抗にエネルギーを追加し、その温度をゼロ以上に保ちます。

— Mohammad M

@Likely信号の振幅が発散するか、信号の持続時間が無限になると、無限のエネルギーの問題が発生します。

— Mohammad M

わかった。それでもあなたは私を混乱させています。あなたの答えでは、信号が有限のエネルギーを持つための条件を与えました、そして、ランダムな信号はそれに続かないと言いました、言い換えれば、ランダムな信号は有限のエネルギーを持つことができない。ここで、ランダム信号が無限のエネルギーを持つための条件を与えます。これは実際には不可能です。つまり、ランダム信号は無限のエネルギーを持つことはできません。結局、どちらが本当か分からない！

— おそらく2017年

すべてのランダム信号がその条件に従わないとは言いませんでした。有限のエネルギーでランダムプロセス（ランダム信号）を定義できます。科学では常に単純化の仮定を使用します。たとえば、天体力学では、地球は寸法のない単なる点であると想定し、驚くほど満足のいく結果が得られます。

— Mohammad M