ノイズに対するウィンドウ処理の影響

選択したウィンドウに応じて、信号を時間内で切り捨てると周波数応答が「不鮮明」になることを理解しています。一般的に、信号の持続時間が短いほど、周波数応答が「平坦化」されます。これを次に示します（http://www.thefouriertransform.com/pairs/box.php）。

しかし、ウィンドウの長さは（帯域制限された加法性ホワイトガウス）ノイズの周波数応答にどのように影響しますか？振幅、持続時間、および対応するメインローブが、振幅および幅の周波数領域にある長方形のウィンドウを想定します。 $A$ $T$ $\operatorname{sinc}(\cdot)$ $A\,T$ $\frac{2}{T}$

\begin{aligned} F {A \cdot rect (\frac{t}{T})} & = \int_{- \infty}^{+ \infty} A \cdot rect (\frac{t}{T}) e^{- j 2 π f t} d t \\ = \int_{\frac{- T}{2}}^{\frac{+ T}{2}} A e^{- j 2 π f t} d t \\ = A \frac{\sin (π f T)}{π f} \\ = A T sinc (f T ） \end{aligned}

$\begin{align} \mathscr{F}\bigg\{A \cdot \operatorname{rect}\left(\tfrac{t}{T}\right) \bigg\} &= \int_{-\infty}^{+\infty} A \cdot \operatorname{rect}\left(\tfrac{t}{T}\right) \, e^{-j2\pi ft} \ dt \\ \\ &= \int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{+T}{2}} A \, e^{-j2\pi ft} \ dt \\ \\ &= A \, \frac{\sin(\pi fT)}{\pi f} \\ \\ &= A \,T \, \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$

場合固定し、そして半減し、それがもたらすであろう半割振幅が、メインローブ幅を倍増しました。このを畳み込むと、キャンセルされるため、周波数領域でノイズの「同じ」振幅が発生するように見えます。つまり、特定の周波数に寄与する有効ノイズ帯域幅は2倍になりますが、その帯域幅のHzあたりの寄与は半分になります。 $A$ $T$ $\operatorname{sinc}$ $\operatorname{sinc}$ $\frac{1}{2}\cdot 2 = 1$

本当？そして一般的に、ウィンドウの持続時間と形状はノイズの周波数応答にどのように影響しますか？
（1）がtrueの場合、ウィンドウ期間を半分にすると、単一の正弦波のSNRも半分になることを意味しますか？（信号のsinc振幅は半分になりますが、ノイズフロアは一定のままであるため）

編集：私が気付いた1つの点は、異なる周波数のノイズ成分間に破壊的な干渉がある可能性があるため、これはウィンドウ関数のフーリエ変換をノイズパワースペクトル密度の平方根で畳み込むだけの単純な分析ではないということです。たぶん、各周波数で均一に分布したノイズ位相を仮定できますか？

アクセス権はありませんが、このペーパーは役に立ちますか？http://ieeexplore.ieee.org/document/199437/

fourier-transform noise window-functions

— abc
ソース

単純なフーリエ変換（周波数応答）ではなく、ウィンドウノイズのパワースペクトル密度を参照したいと思います...？

— Fat32 2017

PSDを使用することは、物事を説明するためのより良い方法かもしれません。最終的には、ウィンドウが単一の周波数でSNRにどのように影響するかを理解しようとしています。ノイズシーケンスの実現の周波数応答の「不鮮明さ」は直感的でした。

— abc 2017

PSDの使用は、ノイズが定常的ではないため、ここでは適切ではないと思います。ウィンドウ内にはノイズがあり、ウィンドウ外にはノイズ（および信号）がありません。つまり、PSDはノイズ自己相関のフーリエ変換であり、自己相関は常に平均されるためノイズ自己相関がゼロであるため、PSDが適用可能ですが、ノイズは限られた時間のみ存在します。

— MaximilianMatthé17年

@MaximilianMatthé私はあなたの言っていることを理解していますが、定常（時間無制限）プロセスのPSDを取得し、それをウィンドウのフーリエ変換で畳み込みませんか？（時間乗算<>周波数たたみ込みプロパティにより）

— abc

いいえ、これは機能しません（少なくとも、私が参照している標準理論では機能しません）。PSDと自己相関は、定常プロセス（実際には、広義の定常）に対してのみ成り立つウィーナー・ヒンチンの定理により、FTを介して結合されます。ただし、畳み込み定理が確実に成立するようにウィンドウで乗算される特定のノイズの実現については。

— MaximilianMatthé2017

更新：私の以前の応答はOPの質問に答えませんでした。次の質問に直接対処します。

結論：時間内のウィンドウ処理の前は、時間内のAWGN波形のフーリエ変換によって周波数が同じ分布の波形になるため、周波数内の各サンプルはIIDガウス確率変数になります（ガウス分布であり、白色になると、各サンプルは次のサンプルから独立しています）。時間内にウィンドウ処理した後、周波数の隣接するサンプル間に依存関係が作成されます。しかし、全体的な周波数応答は依然として白く（全体的に均一で等しい電力）、ガウスです。ホワイトノイズプロセスの分散/ Hzに関連する正弦波の分散（AWGNプロセスの分散は、真のホワイトノイズプロセスが無限のパワーを持つため、パワー/ Hzの単位で密度として指定する必要があります）は変更されません。相互の関係; 窓が正弦波のパワーを半分にした場合、ノイズの力も半分に下がります。実際の値は、計算で正規化がどのように行われるかによって異なりますが、エネルギー/時間であるストレートパワー計算の場合、ウィンドウを半分にすると（たとえば）、関与する波形の種類に関係なく、パワーが半分になります。（正弦、AWGNなど）。これは、下の投稿の後半でカバーされている長方形のウィンドウで畳み込んだ場合に何が起こるかとは対照的です（私のオリジナルでしたが、見当違いの応答でした）。

詳細：

離散時間信号の場合、時間と周波数における信号のエネルギーが同じであることを示す、Parsevalの定理から次のことを考慮してください。

時間が経つとき $-\infty$ に $+\infty$ DTFTの場合：

\begin{matrix} （1） & Σ_{ん = - \infty}^{\infty} | バツ [ん] |^{2} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} | バツ （ （ e^{j φ} ） |^{2} d φ \end{matrix}

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X((e^{j\phi})|^2d\phi\tag{1}$

正規化された周波数（1）を使用すると、以下の形式になり、たぶん従うのが簡単になることに注意してください。

Σ_{ん = - \infty}^{\infty} | バツ [ん] |^{2} = \int_{- 0.5}^{0.5} | バツ （ f ） |^{2} d f

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\int_{-0.5}^{0.5}|X(f)|^2df$

時間が限られている（ウィンドウが表示されている）場合は、DFTが使用されます。

\begin{matrix} （2） & Σ_{ん = 0}^{N - 1} | バツ [ん] |^{2} = \frac{1}{N} Σ_{k = 0}^{N - 1} | バツ [k] |^{2} \end{matrix}

$\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2\tag{2}$

パーセバルの定理を使用した上記のDFT関係では、エネルギーを比較しています。Mでさらにスケーリングすると、Mはサンプルの総観測時間を表し、正弦波トーンとホワイトノイズの両方に適用できるNサンプルのさまざまな長方形ウィンドウサイズでパワーを比較します。

\begin{matrix} （3） & \frac{1}{M} Σ_{ん = 0}^{N - 1} | バツ [ん] |^{2} = \frac{1}{M} \frac{1}{N} Σ_{k = 0}^{N - 1} | バツ [k] |^{2} \end{matrix}

$\frac{1}{M}\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\frac{1}{M}\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2\tag{3}$

DTFTのケースは、ウィンドウを適用しないと（無限エネルギー）収束しませんが、任意の大きなウィンドウ（DFT）を検討し、それを小さいウィンドウで縮小すると何が起こるかを比較することで、答えを洞察することができます。

正弦波

Nに等しい観測時間を持つ任意に長いウィンドウNの正弦波を考えます。

正弦波のサイクルと比較してウィンドウが実際に非常に大きい場合、正弦波のDFTは2つのインパルスによって十分に近似されます（ウィンドウが正弦波のサイクル数の整数の場合と同様に）。正弦波のピーク振幅のN / 2倍の大きさ。したがって、任意の長いウィンドウを持つ正弦波の場合、パーセバルの定理は、ピークを持つ正弦波の予想される分散になります。 $A_p$ （式（3）でM = Nを使用）：

\frac{1}{N^{2}} Σ_{k = 0}^{N - 1} | バツ [k] |^{2} = \frac{1}{N^{2}} （ {（ \frac{N}{2} あ_{p} ）}^{2} + {（ \frac{N}{2} あ_{p} ）}^{2} ） = \frac{あ_{p}^{2}}{2} = σ^{2}

$\frac{1}{N^2}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2 = \frac{1}{N^2}\left( \left(\frac{N}{2}A_p\right)^2+\left(\frac{N}{2}A_p\right)^2\right)=\frac{A_p^2}{2}=\sigma^2$

正弦波のウィンドウを小さくすると、正弦波の周波数応答は実際に他のビンに「不鮮明」になります。インパルスは、ウィンドウが狭くなるにつれて広くなる周波数でSinc関数になり、すべてのビンの二乗和を考慮した場合の総電力は、Mが元のウィンドウサイズを表すN / Mの比率として低下します。元のウィンドウサイズMの合計電力は、正弦波サイクルの残余部分が1サイクルの2乗の積分面積と比較して大きくなると、両方のドメインで変化することに注意してください。正弦波の1サイクル。単一の複雑な指数周波数トーンを検討している場合、ウィンドウサイズが大幅に縮小されたときのこの変動は発生しません。

AWGN

時間の加法性ガウスホワイトノイズプロセスは、周波数の加法性ガウスホワイトノイズプロセスであり、両方のドメインで同じ分布になります。（したがって、数学関数に関する限り、ユニタリーフーリエ変換を使用する場合、それは時間から周波数への変数の変化にすぎません）。また、AWGNが概念的に何であるかを思い出してみましょう。それは白で、すべての周波数でパワー密度が等しいことを意味します（したがって、パワーは無限であり、実現できません）。。ガウス白プロセスのフーリエ変換もガウス白プロセスです。どういう意味ですか？周波数領域では、関数と周波数の大きさの分布もガウス型になり、この場合は「白」であるという点でこれは、この関数（時間領域関数）の変換がすべての時間にわたって等しいパワーを持つことを明示的に意味します。結論として、私たちに関する限り、ドメインを定義する変数を除いて、機能は同じです。フーリエ変換に関しては、1つのドメインでウィンドウを乗算すると、他のドメインでウィンドウカーネル（ウィンドウのフーリエ変換）がたたみ込まれます。信号をフィルター処理するときは、信号をフィルターのインパルス応答でたたみ込みます。これは、周波数応答の逆フーリエ変換です。さらに、上記で行ったようにDFTを使用する場合、コンボリューション自体は機能は同じです。フーリエ変換に関しては、1つのドメインでウィンドウを乗算すると、他のドメインでウィンドウカーネル（ウィンドウのフーリエ変換）がたたみ込まれます。信号をフィルター処理するときは、信号をフィルターのインパルス応答でたたみ込みます。これは、周波数応答の逆フーリエ変換です。さらに、上記で行ったようにDFTを使用する場合、コンボリューション自体は機能は同じです。フーリエ変換に関しては、1つのドメインでウィンドウを乗算すると、他のドメインでウィンドウカーネル（ウィンドウのフーリエ変換）がたたみ込まれます。信号をフィルター処理するときは、信号をフィルターのインパルス応答でたたみ込みます。これは、周波数応答の逆フーリエ変換です。さらに、上記で行ったようにDFTを使用する場合、コンボリューション自体は循環畳み込み。

それで、時間内にウィンドウ処理すると、AWGNプロセスの周波数応答がどうなるかを検討します。ウィンドウ処理の前に、Nに等しい観測時間を持つ任意に長いウィンドウNの場合、周波数応答は実際に白、そして前述したように、この場合も「時間応答」も同様に「白」です（つまり、すべてのサンプルが同様の分布を持つ全長にわたって伸びていることを意味します）。また、サンプル時間間隔と比較して、時間内の各サンプルは次のサンプルとは相関がありません（そのため、結果として、デジタル周波数間隔全体のスペクトルは実際に白になります）。（3）に示すように、DFTをN = Mでスケーリングすると、時間領域信号の分散はDFTの分散と等しくなります。

正弦波の場合と同様に、長方形のウィンドウMをMより小さくすると、パワー（分散）はN / M だけ減少しますが、問題で興味深いのは、周波数応答が白とガウスのままです！ どうしてこれなの？長方形のウィンドウをMに縮小することで、周波数応答をSinc関数で畳み込みます（または、離散システムでは、大きなMのSinc関数をよく近似し、実際には「エイリアスされた」Sinc関数です）。円形畳み込み。したがって、周波数応答は依然として白のままですが、コンボリューション操作により、隣接するサンプルの周波数で各サンプルの依存関係が作成されたことに注意してください。つまり、周波数では各サンプルがサンプルから独立していないため、時間領域では変換は白くなりませんが、周波数領域では振幅分布自体はガウス分布のままであり、電力密度は依然として均一です。使用されるデジタル周波数間隔内のすべての周波数にわたって、したがって、周波数は実際にはまだ白色です。

したがって、時間領域における長方形のウィンドウの周波数領域への影響は、隣接する周波数サンプル間の独立性を排除し、同じ観測間隔で比較した場合に全体の電力を比例的に削減することです（正弦波で行われるのと同様に、 SNRの変更）; ただし、白色（頻度）でガウス分布であるという統計的記述は変わりません。周波数のサンプル間の依存関係は、時間のサンプルの依存関係の影響に似ています。時間のサンプル間に依存関係がある場合、帯域制限（ローパスフィルター）プロセスがあるため、「周波数制限」と言えます。。周波数のサンプル間に依存関係がある場合、時間制限のあるプロセスがあります。これは、長方形のウィンドウが行っていることです。

何が起こっているかを確認する最後のポイントとして。あるドメインでは他のドメインではなく考える方が簡単な場合があるので、最初は白（すべての周波数で均一な密度）の周波数のAWGN信号に長方形のウィンドウを適用したかどうかを検討します。ウィンドウ処理の前に-時間領域信号は観測間隔全体に及び、DFTはサンプリング時間間隔により定義される周波数空間全体に広がります。時間領域の信号を観察すると、時間領域の波形をどれだけ拡大しても、AWGNの最初のプロットは次のようになります。これは、すべてのサンプルが次のサンプルから独立しているためです。。そして、マグニチュード分布のヒストグラムはガウス分布です。周波数応答を帯域制限する場合（周波数応答に長方形のウィンドウを掛けることにより）、時間領域で次の2番目のプロットに似たものが表示されます。ズームインすると、あるサンプルから次のサンプルまでの定義済みの軌跡を確認できます。マグニチュードのヒストグラム（十分なサンプルに対して実行する限り）は変化せず、ガウスのままであることに注意してください。また、時間領域関数は均一なパワーで完全な観測時間を超えているため、時間とガウスは「白」ですが、周波数は白ではありません。したがって、OPの質問の場合に周波数応答がどうなるかを直接確認できます。以下の波形は時間ではなく、周波数になります。周波数応答は依然としてパワー（白）とガウスで均一ですが、時間内のウィンドウ処理により、周波数応答を拡大して、以前は存在しなかった今存在するであろうサンプル間相関を観察することができます。ウィンドウに。周波数の各サンプルをウィンドウ処理する前は、隣接するサンプルから独立しているため、周波数応答を拡大すると、次の最初のプロットのようになります。しかし、時間領域関数がウィンドウ処理された場合、周波数で隣接するサンプル間に依存関係が作成され、その場合に周波数応答にズームインすると、以下の2番目のプロットのようなものが観察され始めます。

ホワイトガウスノイズ（AWGN）

帯域制限ガウスノイズ

時間領域関数に長方形のウィンドウを乗算した後、周波数応答が白のままであることを証明する別の方法は、それぞれの場合の自己相関関数を観察することです。AWGN信号の自己相関関数はインパルスであり、インパルスの周波数応答は次のとおりです。統一された機能。AWGN関数にゼロを追加しても（または同等にウィンドウ処理を行っても）、結果がインパルスであることから変化しないため、周波数応答は依然として均一（白）になります。ゼロを追加すると、周波数の既存のサンプル間が補間されるため、前述のトラジェクトリが作成されます...そして、AWGN信号の長さTの特定のウィンドウサイズに対して、1 / Tで区切られた周波数のサンプル独立したままになります

前の投稿：以下は最初は応答として与えられたものですが、これは質問されなかった長方形のウィンドウでの畳み込みに固有のものです。

ウィンドウの持続時間と形状は、ウィンドウの周波数応答に直接基づいて、ホワイトノイズのスペクトル密度に影響を与えます。ウィンドウの相対的な長さに基づいてノイズの電力が削減されますが、二乗和としての意味または $\int_0^T(x^2)dx$ 、ウィンドウの相関帯域幅内の正弦波（周波数<1 / T、ここでTはウィンドウの長さ）は、合計として増加します。私は、ウィンドウを移動平均と見なして、正弦波（周波数が十分に低い場合）が変化せず、ノイズが比例して小さくなるようにします。これは、ウィンドウをその長さに正規化したことを意味しますが、ウィンドウが正弦波自体に影響を与えず、ノイズを除去するというより直感的です。使用しない場合の正規化は、任意のスケーリングになりますが、どちらの場合も、最終的に重要なのは信号対ノイズの比率です。

合計分散= 1の（デジタル）ホワイトノイズプロセスの例を考えます。

これを10タップのユニティゲインフィルター（離散矩形ウィンドウ[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]でのホワイトノイズプロセスのたたみ込みを表す）でフィルター処理した場合、フィルターのタップからタップへのノイズは無相関になります。したがって、sqrt（10）だけ標準偏差（マグニチュード量を表す）で上昇し、フィルター帯域幅内にある正弦波は相関し、マグニチュードで10倍増加します。

このようなフィルターの周波数応答を観察します。20dBのDCゲインは、（20Log10（10））のように、上記の10の係数を表します。この応答は、フィルタースペクトル内の任意の周波数で単一のトーンの電力レベルに何が起こるかを正確に示しますが、複数のトーンの電力はそれらの個々の電力の合計になります（これは、ノイズへの影響を処理する方法です）に $\sum x^2$ ）：

そして、ホワイトノイズへの予想される影響

ウィンドウのローパスの性質により、ノイズが成形（色付け）され、このフィルターで処理した後の全体的なノイズは、10log10（10）= 10 dBだけ増加するはずです。したがって、ノイズが10 dB増加したときに20 dB増加すると、トーン（信号）からSNRが10 dB増加します。または、トーンのレベルに正規化すると、ノイズは10 dBまたは1/10減少します。総力。

これを実験的にテストする：

noise= randn(2^12,1);
var1 = std(noise);
noisefilt = filter(ones(10,1),1,noise);
var2 = std(noisefilt);
freqz(ones(10,1));  % frequency response

結果はvar1 = 1.00355およびvar2 = 10.64になります。

増加は単なる一定の（そして任意の）ゲイン係数であるため、重要なのは、正弦波と比較してノイズがどのように影響を受けるかです。つまり、ウィンドウはホワイトノイズのノイズパワーを比例的に低減します（この場合、より広いウィンドウを1に比較します）。サイズが1/10で、小さい方は電力の1/10を除去しますが、1 / Tに最初のヌルをもつSinc関数に従って正弦波を低減します。Tはウィンドウの長さです。（または、ウィンドウ自体のフーリエ変換に基づく任意のウィンドウの場合）。

また、元の投稿の下のコメントで述べたように、fred harrisは、よく参照するこの古典的な論文で、ウィンドウシステムのコヒーレントゲインと非コヒーレントゲイン、同等のノイズ帯域幅などを記述する際に数学をうまく処理していると思います：https：// www .utdallas.edu /〜cpb021000 / EE％204361 / Great％20DSP％20Papers / Harris％20on％20Windows.pdf

— ダンボシェン
ソース

信号（あなたの場合は移動平均）をフィルタリングするとどうなるかを説明します。しかし、OPは、信号にウィンドウを適用すると（ウィンドウと乗算してDFTを実行すると）どうなるかを尋ねます。あなたの説明がウィンドウ処理にどのように関係しているか、もっと説明できますか？私はあなたの最後のリンクが質問全体の良い参照であると思います、そして私は答えがその紙にあると信じます、しかし私はそれを読みませんでした。

— MaximilianMatthé2017

@MaximilianMatthéああ、もちろん。やらなければならない仕事があるようです。パスが表示されたら、更新します。

— Dan Boschen 2017

周波数のホワイトノイズにウィンドウを適用し、相関はありますが時間領域でガウスノイズが発生するアナロジーが好きです。双対性により、他のドメインについても同じことが言えます。

— MaximilianMatthé2017

はい私はしばしば、双対性のためにスワップすると、より直感的な答えを「見る」ことができる状況に出くわします。時間領域の先行エコーと後続エコーを引き起こす周波数領域の通過帯域リップルは、1つの良い例です。時間内の正弦波が周波数の2つのインパルスであることはよく知っているので、通過帯域リップルをDCオフセットのある正弦波と見なします。

— Dan Boschen 2017

ちなみに私が思いついた方法である@MaximilianMatthé：dsp.stackexchange.com/questions/19584/…。この類似性を理解するためにこの投稿を実際に読んでくれてありがとう、そして私の最初の試みの後で私を助けてくれてありがとう-今ではもっと簡潔になるかもしれないことに気づきました。私が書いたようにそれを熟考していた。

— Dan Boschen 2017

編集：以下の計算を修正したい。計算は正しいですが、実際に質問されているものは計算しません。

ノイズ信号が与えられた $n(t)$ そして窓 $w(t)$ 、全体的な信号は $n(t)w(t)$ 。興味があるのは表現 $E[|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}(f)|^2]$ 。（以前の計算の変更は、実際には全体的なノイズエネルギーではなく、各周波数サンプルの分散に関心があるということです）

だから、計算をしてみましょう：

\begin{aligned} E [| F {ん （ t ） w （ t ）} （ f ） |^{2}] & = E [| N （ f ） * W （ f ） |^{2}] & 畳み込み定理 \\ = E [| \int_{R} N （ f_{1} ） W （ f - f_{1} ） d f_{1} |^{2}] & 明示的な畳み込み \\ = E [\int_{R} \int_{R} N （ f_{1} ） W （ f - f_{1} ） N^{*} （ f_{2} ） W^{*} （ f - f_{2} ） d f_{1} d f_{2}] & を使用して | バツ |^{2} = バツ {バツ}^{*} \\ = \int_{R} \int_{R} E [N （ f_{1} ） N^{*} （ f_{2} ）] W （ f - f_{1} ） W^{*} （ f - f_{2} ） d f_{1} d f_{2} & 統合への期待 \\ = \int_{R} \int_{R} N_{0} δ （ f_{1} - f_{2} ） W （ f - f_{1} ） W^{*} （ f - f_{2} ） d f_{1} d f_{2} & 無相関ノイズ \\ = N_{0} \int_{R} W （ f - f_{1} ） W^{*} （ f - f_{1} ） d f_{1} & ディラックのふるい分け特性 \\ = N_{0} E_{w} \end{aligned}

$\begin{align} E[|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}(f)|^2]&=E[|N(f)*W(f)|^2] &\text{Convolution theorem}\\ &=E[|\int_{\mathbb{R}}N(f_1)W(f-f_1)df_1|^2]&\text{Explicit convolution}\\ &=E[\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N(f_1)W(f-f_1)N^*(f_2)W^*(f-f_2)df_1df_2]&\text{using }|x|^2=xx^*\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}E[N(f_1)N^*(f_2)]W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2&\text{expectation into integral}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N_0\delta(f_1-f_2)W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2&\text{uncorrelated noise}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}W(f-f_1)W^*(f-f_1)df_1&\text{Sifting property of dirac}\\ &=N_0E_w \end{align}$ 最後の方程式のどこに

E_{w} = \int_{R} ‖ W (f) ‖^{2} d f

$E_w=\int_\mathbb{R}\|W(f)\|^2df$ ウィンドウのエネルギーです。したがって、各周波数ビンのノイズ分散は、ウィンドウの全体的なエネルギーによって増幅されていることがわかります（これは私には合理的に見えます）。

古い答え：

最終的な積分が発散するので、この投稿は質問に答えません。私の計算にエラーがあると思います、多分誰かがそれを見ることができますか？

ノイズ信号が与えられた $n(t)$ そして窓 $w(t)$ 、全体的な信号は $n(t)w(t)$ 。興味があるのは表現 $E[\|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}\|^2]$ 。

だから、計算をしてみましょう：

\begin{aligned} E [‖ F {ん （ t ） w （ t ）} ‖^{2}] & = E [‖ N （ f ） * W （ f ） ‖^{2}] & 畳み込み定理 \\ = E [‖ \int_{R} N （ f_{1} ） W （ f - f_{1} ） d f_{1} ‖^{2}] & 明示的な畳み込み \\ = E [\int_{R} \int_{R} \int_{R} N （ f_{1} ） W （ f - f_{1} ） N^{*} （ f_{2} ） W^{*} （ f - f_{2} ） d f_{1} d f_{2} d f] & 明示的な規範 \\ = \int_{R} \int_{R} \int_{R} E [N （ f_{1} ） N^{*} （ f_{2} ）] W （ f - f_{1} ） W^{*} （ f - f_{2} ） d f_{1} d f_{2} d f] & 統合への期待 \\ = \int_{R} \int_{R} \int_{R} N_{0} δ （ f_{1} - f_{2} ） W （ f - f_{1} ） W^{*} （ f - f_{2} ） d f_{1} d f_{2} d f & 無相関ノイズ \\ = N_{0} \int_{R} \int_{R} W （ f - f_{1} ） W^{*} （ f - f_{1} ） d f_{1} d f & ディラックのふるい分け特性 \\ = N_{0} \int_{R} E_{w} d f = \infty \end{aligned}

$\begin{align} E[\|\mathcal{F}\{n(t)w(t)\}\|^2]&=E[\|N(f)*W(f)\|^2] &\text{Convolution theorem}\\ &=E[\|\int_{\mathbb{R}}N(f_1)W(f-f_1)df_1\|^2]&\text{Explicit convolution}\\ &=E[\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N(f_1)W(f-f_1)N^*(f_2)W^*(f-f_2)df_1df_2df]&\text{explicit norm}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}E[N(f_1)N^*(f_2)]W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2df]&\text{expectation into integral}\\ &=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}N_0\delta(f_1-f_2)W(f-f_1)W^*(f-f_2)df_1df_2df&\text{uncorrelated noise}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}W(f-f_1)W^*(f-f_1)df_1df&\text{Sifting property of dirac}\\ &=N_0\int_\mathbb{R}E_wdf=\infty \end{align}$

最後の方程式のどこに $E_w=\int_\mathbb{R}\|W(f)\|^2df$ ウィンドウのエネルギーです。

残念ながら、最後の積分は発散します。間違いはどこですか？ノイズは無限の分散を持つことができないため、発散することはできません。

— マクシミリアン・マテ
ソース

何も問題はありません。連続時間ホワイトノイズの分散は無限です。

— Peter K.

別の見方をすると、ノイズは密度の高い白色であると考えます

N_{0}

$N_0$ 、その逆フーリエ変換は無限エネルギーのディラックパルスでなければなりません（パーセバルの定理）。

— AlexTP

もちろんフーリエ変換について話すとき、私はその存在の状態を緩和しました。

— AlexTP

したがって、「明示的な畳み込み」の行から始めると、帯域幅が帯域幅制限されたAWGNであると想定できますか？

B

$B$ ？

— abc 2017

ホワイトノイズには無限の分散があるため、密度（dBm / Hzなど）として記述されますが、ウィンドウ化されたホワイトノイズプロセスには有限のエネルギーがあり、時間に制限があり、周波数に制限はありませんが、 fが無限大になると、sincは1 / fで下がります。

— Dan Boschen 2017