なぜこのモアレパターンはこのように見えるのですか？

Matlabでメビウス変換のgifをいくつか作成していたところ、いくつかの奇妙なパターンが現れ始めました。この現象を理解するためにファイルタイプ/アルゴリズムのより深い知識が必要かどうかはわかりませんが、おそらく純粋に数学的説明があるのではないかと思いました。この画像は、市松模様のように複素平面を着色し、複素共役の逆数を取ることで反転させて得られます。以下は、指定されたズームを使用した画像の数学擬似コードです。$k$

$$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$$

そして、、、およびの画像を次に示します。各画像の解像度はです。信号処理の経歴はありませんが、学びたいです！k = 50 k = 200 1000 × $k=1$$k=50$$k=200$$1000\times 1000$

編集：

• より具体的には、モアレパターンが特定のポイントで画像の解像度と「同期」するのはなぜですか。
• モアレパターンを予測できますか？

サンプリング定理を理解する必要があります。つまり、各信号にはスペクトル callと呼ばれるものがあり、これは時間領域（時間信号の場合）、または空間領域（画像の場合）での信号のフーリエ変換です。フーリエ変換は全単射であり、信号とその変換は同等です。実際、フーリエ変換は基底の変化として解釈できることがよくあります。低縦座標のフーリエ変換の値はゆっくり変化するものを表すため、これを「周波数領域への変換」と呼びます元の（時間または空間）ドメイン信号では、高周波コンテンツは高い位置のフーリエ変換値で表されます。

一般に、そのようなスペクトルは特定のサポートを持つことができます。サポートは、スペクトルが0以外の最小間隔です。

周波数を再現する能力が上記のサポートよりも小さい間隔に制限されている観測システムを使用する場合（ちなみに、これはしばしば無限であり、時間または空間に有限の拡張がある信号では常に無限です）、そのシステムでは元の信号を表すことができません。

この場合、画像には特定の解像度があります。つまり、最終的に、固定された無限小の間隔で離散点で関数の値を評価するということです。その間隔の逆数は（空間）サンプリングレートです。

したがって、画像は元の信号を表すことができません。基礎となる関数のピクセルへのマッピングが元の関数と完全に等しいことは、数学的に不可能です。 （「サンプリング」）はサンプリングレートの半分であるため、信号のスペクトルのサンプリングレートの半分を超える部分で何か問題が発生する必要があります。

$f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$$n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$$|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$

私が緑に塗ったあなたの写真から「大きな」構造を取りなさい：

確かにここには低周波数のコンテンツがあるように見えますが、実際には、周波数での高周波数のコンテンツにすぎません$>\frac{f_\text{sample}}2$

したがって、はい、フーリエ変換をサンプリングレートによって提供される帯域幅と比較することにより、サンプリング時に2D信号に発生するアーティファクトを予測できます。

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¹これは、線形代数で演算子の固有特性を記述するために使用されるスペクトルとは異なる場合があります。