3次スプライン補間は、補間多項式よりも優れているのはいつですか？

次のプロットは、教科書の例のわずかなバリエーションです。著者はこの例を使用して、等間隔に配置されたサンプルに対する補間多項式が、補間間隔の両端付近に大きな振動を持っていることを示しました。もちろん、3次スプライン補間は、区間全体にわたって適切な近似を提供します。長年にわたり、ここに示されている理由により、等間隔のサンプルに対する高次多項式補間は避けるべきだと考えていました。

ただし、私は最近、高次の補間多項式が3次スプライン補間より少ない近似誤差を与える帯域制限信号の多くの例を見つけました。通常、サンプルレートが十分に高い場合、補間多項式は補間間隔全体でより正確になります。これは、サンプルが信号のナイキスト周波数より少なくとも3倍大きいサンプルレートで等間隔に配置されている場合に当てはまるようです。さらに、（サンプルレート）/（ナイキスト周波数）が増加すると、3次スプライン補間よりも有利になります。

例として、ナイキスト周波数が2 Hz、サンプルレートが6.5 Hzの正弦波の3次スプライン補間と補間多項式を比較します。サンプルポイント間では、補間多項式は実際の信号とまったく同じに見えます。

以下では、2つの近似の誤差を比較します。最初の例と同様に、多項式補間はサンプル間隔の最初と最後の近くで最悪になります。ただし、補間多項式は、サンプル間隔全体にわたって3次スプラインよりも誤差が少なくなります。また、内挿多項式は、短い間隔で外挿するときにエラーが少なくなります。私はよく知られた事実を発見しましたか？もしそうなら、それについてどこで読むことができますか？

議論されている現象はルンゲの現象です。

$n$$\sin(\omega t)$$\omega^n$ $\frac{1}{25t^2+1}$$n$$5^nn!,$$n!$$n$$n$

関数に連続導関数しかない場合、競合するアプローチである区分的多項式スプライン補間は、初期固定導関数の少数の固定値が対象の間隔に制限される場合に常に収束します。例として、線形補間に関するWikipediaの記事を参照してください。

両方の方法が収束する場合、（非区分的）多項式補間は、多くのサンプルが使用される場合、より高い多項式次数の利点を持ち、サインの例で見たように、より良い近似を提供する可能性があります。LNトレフェテン、等間隔の点での多項式補間に関する2つの結果、ジャーナルオブ近似理論 第65巻、第3号、1991年6月、ページ247-260もご覧ください。見積もり：

$e^{i\alpha x}\, (\alpha \in \mathbb{R}),$$0$$n \to \infty$$\alpha$

波長ごとに6.5サンプルがあります。