FIRフィルター設計：ウィンドウとパークマクレランおよび最小二乗

ローパスフィルターのFIRフィルター設計にParks-McClellan（ここではPMcCと略します）または最小二乗アルゴリズムよりもウィンドウアプローチを使用する利点はありますか？今日の計算能力では、アルゴリズム自体の複雑さは要因ではないと仮定します。

この質問は、PMcCと最小二乗を比較するものではありませんが、具体的には、これらのアルゴリズムの代わりにウィンドウFIR設計手法を使用する理由がある場合、またはそれらのアルゴリズムによって廃止され、教訓的な目的に追いやられた設計をフィルター処理するウィンドウ手法がありましたか？

以下は、ハミングウィンドウを、同じ数のタップを使用して、最小二乗法を使用したお気に入りの設計アプローチと比較した比較の1つです。ハミングウィンドウのパスバンドに厳密に一致するように、最小二乗アプローチの通過帯域を拡大しました。この場合、最小二乗のパフォーマンスが大幅に向上することは明らかでした（ストップバンド除去が大幅に向上します）。すべてのウィンドウでこれを行っていないので、PMcCと最小二乗を実行できるかどうか、またはウィンドウイングアプローチが好ましいFIRローパスフィルタの他のアプリケーションがあるかどうかという質問につながりますか？

ウィンドウフィルターの設計手法は、もはや最も重要な設計手法の1つではなく、おそらく歴史的な理由により、従来の教科書では過剰に表現されている可能性があります。

ただし、特定の状況ではその使用を正当化できると思います。計算の複雑さがもはや問題ではないことに同意しません。これはプラットフォームに依存します。デスクトップコンピューターに座ってフィルターを設計すれば、複雑さを心配する必要はありません。ただし、特定のプラットフォームおよび設計を準リアルタイムで実行する必要がある状況では、計算の複雑さが問題となり、単純な準最適な設計手法がはるかに複雑な最適な手法よりも優先されます。例として、私はフィルター（ビームフォーマー）をその場で再設計する必要があるビームフォーミング用のシステムで働いていたため、計算の複雑さが実際に問題でした。

また、多くの実際的な状況では、最適な設計と次善の設計の違いを心配する必要はないと確信しています。これは、量子化係数と算術演算の量子化結果で固定小数点演算を使用する必要がある場合にさらに当てはまります。

別の問題は、最適なフィルター設計法とその実装の数値安定性です。Parks-McClellanアルゴリズム（つまり、使用した実装）が単に収束しなかったいくつかのケースに遭遇しました。これは、仕様があまり意味をなさない場合に発生しますが、完全に合理的な仕様でも発生する可能性があります。同じことは、線形方程式系を解く必要がある最小二乗設計法にも当てはまり、これは悪条件の問題になる可能性があります。このような状況では、ウィンドウ方式は決してあなたを失望させません。

ウィンドウ手法と最小二乗設計の比較についてのコメント：この比較は、ウィンドウ手法に対する最小二乗手法の一般的な優位性を示すとは思わない。まず、ストップバンドの減衰を確認するようです。これは、2つの方法のいずれの設計目標でもありません。ウィンドウ法は、いかなる意味においても最適ではなく、最小二乗設計はストップバンドエネルギーを最小化し、ストップバンドリップルサイズをまったく気にしません。見えるのは、窓の設計の通過帯域の端が最小二乗の設計の通過帯域の端よりも大きいのに対し、ストップバンドの端は小さいことです。その結果、ウィンドウ処理によって設計されたフィルターの遷移帯域幅は小さくなり、阻止帯域リップルが大きくなります。遷移帯域幅の違いは小さいかもしれませんが、ただし、フィルターのプロパティはこのパラメーターに非常に敏感です。帯域エネルギーを停止することになると、最小二乗フィルターが他のフィルターよりも優れていることは間違いありませんが、リップルサイズほど簡単にはわかりません。そして、その違いが実際のアプリケーションで実際に違いを生むかどうかは疑問のままです。

そのような比較は、多くの場合、見たいように見えるようにすることができることを示しましょう。以下の図では、Matlab / Octave関数で設計された最小二乗最適ローパスフィルターfirls.m（青）と、カイザーウィンドウを使用したウィンドウメソッドで設計されたローパスフィルター（赤）を比較します。

この図から、ウィンドウ処理によって設計されたフィルターは最小二乗最適フィルターよりもわずかに優れていると結論付けることさえできます。もちろん、これは「より良い」ことさえ定義しておらず、最小二乗フィルターはより小さな平均二乗近似誤差を持たなければならないため、無意味です。ただし、図には直接表示されません。とにかく、これはそのような比較を行う際に非常に慎重で明確でなければならないという私の主張を支持するためだけです。

要するに、純粋に教訓的な理由でDSP学生のために学ぶのに役立つことは別として、1970年代以降の技術の進歩にもかかわらず、特定の実用的なシナリオではウィンドウ手法の使用は正当化できると思います。すぐに変更します。

ウィンドウ化されたSincフィルターは、関連するFIRフィルターを実行するのに十分なほど強力なプロセッサーでオンザフライで適応的に生成できます。ウィンドウ処理されたSincフィルターは、有限の制限時間で生成できます。

いくつかの単純なウィンドウ化Sincフィルターの生成は、コードの数行で完全に記述（およびマルウェアなどの検査）できますが、一部の不透明なツールボックスは盲目的に使用します。

PMcCフィルタージェネレーターをゼロからコーディングする場合と比較して、ウィンドウ化されたSincフィルターを説明するために必要な数学の背景はそれほど必要ありません。

PMcCフィルターの周波数応答のリップルが等しいと、時間領域で、単純なウィンドウフィルターによって生成されるアーティファクトとは異なる（おそらく望ましくない）アーティファクトが発生する可能性があります。

ここでは、窓付きデザインの利点の1つと、Parks–McClellanから同じ利点を得るためのトリックを示します。

ハーフバンド、クォーターバンドなどのフィルターウィンドウでは、スケーリングされたsinc関数の時間領域ゼロが保持されます。これは、プロトタイプの理想的なローパスフィルターです。ゼロは係数になり、フィルターの計算コストを削減します。ハーフバンドフィルターの場合、ウィンドウ設計では、中間係数（偶数と見なされる）を除くすべての偶数係数0のフィルターが得られます。

図1. 2倍に水平に引き伸ばされたSinc関数は、2倍のアップサンプリングに適した、ゲイン2の典型的なハーフバンドローパスフィルターです。

ただし、Parks–McClellan / Remezは、ユニティゲインパスバンドのみが定義された偶数のタップを持つフィルターを使用して設計することにより、同じ利点を得るためにだまされる可能性があります。得られた係数は、より長いフィルターの奇数係数として使用されます。長いフィルタの中間係数は1に設定され、他の偶数係数は0に設定されます。このフィルタは、通過帯域で2のゲインを持ち、通過帯域と停止帯域で対称リップルを持ちます。Pythonの場合：

import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt
c0 = signal.remez(14, [0, 3500.0/8000], [1])
c = np.zeros(c0.size*2-1)
c[0::2] = c0
c[c0.size-1] = 1
freq, response = signal.freqz(c)
plt.semilogy(freq/(2*np.pi), np.abs(response))
plt.show()
plt.plot(range(-c0.size+1, c0.size, 1), c, 'x')
plt.grid(True)
plt.show()

図2. Pythonを使用して間接的に設計されたハーフバンドフィルターの係数scipy.signal.remez。

図3.を使用して間接的に設計されたハーフバンドフィルターの振幅周波数応答プロットscipy.signal.remez。