親指のフィルター順序ルール

通過帯域とサンプルレートに基づいてFIR / IIRの近似フィルター次数を計算するための経験則はありますか？Undergradで一度読んだことを覚えているようです。スケーラー*通過帯域/遮断帯域のような大まかな見積もりを作成できると思います。

私はさまざまなFIR / IIRフィルターの実装に取り​​組んでおり、1つの変数が変更された場合、これはおおよそのタップ数で同様のパフォーマンスを得ることができるという大まかな式が欲しいのですが。

ローパスFIRフィルターの次数で私のお気に入りの「経験則」は「フレッドハリスの経験則」です。

$N=[f_s/delta(f)]*[atten(dB)/22]$

ここで、delta（f）は遷移バンドで、同じ単位で $f_s$ $f_s$ atten（dB）はフィルターのサンプルレート、dB単位のターゲット除去

たとえば、1KHzでサンプリングされたシステムに100 Hzの遷移帯域があり、阻止帯域の阻止要件が50 dBである場合、次数は次のように概算できます。

N = 1KHz / 100Hz * 50/22 = 23タップ（切り上げ）

フレッド・ハリス、ありがとう！

通過帯域リップルを考慮したもう1つのより詳細な式は、ベルラボのJames KaiserのおかげでKaiserの式であることに注意してください。

私が行ったほとんどのアプリケーションでは、特定の拒否が与えられているため、fred harrisアプローチは問題なく、Parks-McClellanやRemezなどの従来のフィルター設計アルゴリズムを使用して得られたフィルターは、拒否要件を満たすと、通過帯域リップル要件を超えました。（私が通常行うことは、次数を推定し、その次数でフィルターを設計し、結果を検査し、そこから次数を増減して微調整することです）。見積もりの​​結果は次のとおりです。見積もりであり、全体的な設計パラメーターによって大きく異なる可能性があり、正確なソリューションであるとは限りません。

ウィンドウアプローチを使用したフィルター設計に精通している方は、ボックスカーまたは長方形ウィンドウ（単純な切り捨て）を確認すると、その理由がわかります。 $f_s/\Delta f$ タップ（これは $2\pi/\Delta\omega$正規化された周波数の単位がラジアン/サンプルの場合はよく行われます）、遷移帯域を完成させます。これを説明するのに役立つ以下の画像を参照してください。

下の最初の画像は、時間内に長方形のウィンドウの周波数で予想されるSincを示します。次に離散形で、エイリアスSinc関数です。ここで重要な点は、長方形関数の時間内のNサンプルの場合、周波数応答はf = 1 / Nに最初のヌルがあります（fは正規化された周波数で、1はサンプリングレートです）。

この次の画像は、フィルター設計への長方形のウィンドウアプローチを示しています（これはお勧めしませんが、参考情報です）。左上隅の最初のプロットは、フィルターの目標周波数応答を理想的な「レンガ壁」応答として示しています。「ボックスカーウィンドウ」（または「長方形ウィンドウ」）も長方形であると混同しないでください。ウィンドウは時間領域にあります。

このようなフィルターを実現するために、FIRフィルターの係数として目的の周波数応答のインパルス応答を使用します（フィルターの係数はインパルス応答です。すべての係数にインパルスを出し入れしてください）。 ）。矩形周波数（ブリックウォール）応答のインパルス応答は、時間領域でのSinc関数である逆FTであり、左下隅に「必要なインパルス応答」として示されています。Sinc関数はプラスとマイナスの無限大に拡張されるため、このようなフィルターを実際に実現するには、無限に長いフィルターが必要であり、無限に長い遅延が発生します。明らかにそれができないので、係数を実現可能なものに切り捨てます。フィルターが長いほど、理想的なブリックウォール応答に近づきます。

時間領域でのインパルス応答の打ち切りは、時間領域での矩形ウィンドウの乗算と数学的に同じです。（システムを因果関係にするために、インパルス応答もウィンドウの期間の半分だけ遅延することに注意してください）。時間領域での乗算は、周波数領域でのたたみ込みに相当します。打ち切り前のインパルス応答の周波数領域（FT）は、本来の目的のブリックウォール周波数応答です。矩形ウィンドウの周波数応答は、周波数領域のSinc関数です。

したがって、目的のインパルス応答を切り捨てる（時間内に長方形のウィンドウを掛ける）と、目的の周波数応答をSinc関数でたたみ込み、結果として、画像の右上隅に示すように、ターゲット周波数応答の近似値が得られます未満。

Sinc関数の一般的な重要なポイントは、最初のヌルが1 / Tであるということです。ここで、Tは矩形関数の期間です。サンプリングされたシステムの場合、最初のヌルは次の場所にあります$2\pi/N$ここで、Nは、矩形関数の期間中のサンプル数を表します。画像では、周波数軸に正規化されたラジアン周波数が使用されています（混乱する場合は、$2 \pi$は、サンプリングレートのラジアン周波数です）。したがって、畳み込みの過程で、鋭いブリックウォール遷移が広がり、この場合は0（$\Delta \omega$）の頻度で $2\pi/N$！だからここ

$$N = 2\pi/\Delta \omega$$ そしてもちろん、フィルターはサイドローブなどでは不十分です。これに注意してください。Sinc関数からのこの遷移は、指定されたタップ数で利用できる最も鋭いものです。周波数の解像度は最高ですが、ダイナミックレンジ（除去）は最低です。他のウィンドウの類型（Blackman、Blackman-harris、Kaiser（私のお気に入り）など）では、ダイナミックレンジが大幅に改善されますが、常に遷移が犠牲になります。

以上から、の起源がわかります $2\pi/\Delta\omega$これは、近似式で使用されます。また、典型的なフィルター設計で、タップ数がこれを超える追加の乗算係数がある理由もわかります。長方形のウィンドウは、Nタップで可能な限り最良の遷移を提供します。$N = 2\pi/\Delta\omega$しかし、拒絶反応は非常に貧弱です。より多くのタップを使用して、長方形のウィンドウの鋭い遷移を超えて時間遷移を滑らかにし、遷移帯域幅を犠牲にしてより大きな除去を提供します。

FIRフィルターの長さまたはIIRフィルターの次数は、遷移帯域の幅（多数の場合は最も狭いもの）とサンプルレートの比にほぼ反比例します。低次フィルター。