2つの信号はいつ直交しますか？

線形代数における直交性の古典的な定義では、2つのベクトルは、それらの内積がゼロの場合、直交します。

この定義は信号にも適用される可能性があると思いましたが、次の例について考えました。

正弦波の形の信号と、余弦波の形の別の信号を考えます。両方をサンプリングすると、2つのベクトルが得られます。サインとコサインは直交関数ですが、サンプリングされたベクトルの積はほとんどゼロにはならず、t = 0でのそれらの相互相関関数も消えません。

では、この場合、直交性はどのように定義されるのでしょうか。または私の例はオフですか？

ご存知かもしれませんが、直交性はベクトル空間の内積に依存します。あなたの質問では、次のように述べています：

サインとコサインは直交関数ですが...

これは、おそらく関数空間の「標準」内積を聞いたことがあることを意味します。

この積分を解くと $f(x)=\cos (x)$ そして $g(x)=\sin(x)$ 単一の期間の場合、結果は $0$：それらは直交しています。

ただし、これらの信号のサンプリングは、直交性などには関係ありません。信号をサンプリングするときに取得する「ベクトル」は、意味のある値を組み合わせたものです。これらは厳密にはベクトルではなく、単なる配列（プログラミングスラング）です。それらをMATLABまたは他のプログラミング言語でベクトルと呼ぶのは、混乱を招く可能性があります。

次元のベクトル空間を定義できるので、実際には少しトリッキーです $N$ あなたが持っている場合 $N$各信号のサンプル。これらの配列は実際には実際のベクトルです。しかし、それらは異なるものを定義します。

簡単にするために、ベクトル空間にいるとしましょう $\mathbb{R}^3$ そしてあなたは持っています $3$各信号のサンプル、およびそれらすべては実数値です。最初のケースでは、ベクトル（つまり、3つの数値を組み合わせたもの）は空間内の位置を参照します。2番目の例では、信号が3つの異なる時間に到達する3つの値を参照しています。この例では、違いを見つけるのは簡単です。もしあったなら$n$ サンプルの場合、「スペース」の概念は直感的にはわかりませんが、アイデアは依然として保持されます。

一言で言えば、2つの信号は、それらの間の内積（つまり、上で書いた積分）が $0$、そしてそれらをサンプリングすることによって得られたベクトル/配列は、それらが直交していることについて何も教えてくれません。

直交性は、実際には、内積を介して定義されます。連続した順序の時間変数の積分と、離散時間変数の合計です。

2つの（連続的な）直交信号を離散的な信号（通常のサンプリング、離散的な振幅）に変換し、場合によってはウィンドウ処理（有限サポート）すると、直交性に影響を与える可能性があります。言い換えると、2つの直交する連続時間信号は、離散化されたときに、ほぼ直交になるだけです。離散化が十分に細かく、ウィンドウが適切に選択されている場合、場合によっては（周期性、周波数に関して）、直交性を維持します。

連続設定では、関数空間は無限であるため、直交信号を見つけるための多くのオプションがあります。離散空間では、相互に直交する信号の最大数は、空間の次元によって制限されます。

まず、関数の内積を定義する必要があります。単に掛け算することはできません。

私自身は内積の特性についてはわかりませんが、この講義によれば、内積は可換で線形でなければならず、それ自体の関数の内積は正定でなければなりません。

関数の内積の1つのオプションは、

と $a<b$。しかし、多分あなたはあなた自身で異なる定義を思いつくかもしれませんか、あるいはこれを使って遊んでどれを見るかもしれません$a$ そして $b$、 $\sin(x)$ そして $\cos(x)$ 直交しています。

Huangの記事「非線形および非定常時系列分析の経験的モード分解とヒルベルトスペクトル」を読んだ後、質問に答えられると思います。この論文（927ページ）で、Huangは2つの信号間の直交性の定義を示しました。

また、MATLABコードを共有したいと思います。

function OC=ort(x,y)
x=x(:)';
y=y(:);
xy=x*y;
OC=xy/(sum(x.^2)+sum(y.^2));
end

以上です、頑張ってください〜

行列の乗算（DFTなど）に関して、信号の等価積分間隔は、行列のサイズ（または入力ベクトルのサイズ）とサンプルレートによって決まります。これらは、実際の考慮事項（対象となる時間やスペース、可用性など）のために選択されることがよくあります。直交性は、積分のその期間にわたって定義されます。

私はあなたの例が少しずれていると主張します。

関数をサンプリングしなかった可能性が高いです $\sin$ そして $\cos$適切に、サンプリングはそれらの周期性を尊重する必要があるという意味で。セットでこれらの関数をサンプリングすると$\{\dfrac{n2\pi}{N}\ |\ n\in\{0,\ldots, N-1\}\}$、私はあなたがそれを見つけることを保証します $N$あなたが見つける三次元ベクトルは完全に直交するでしょう。

私はピトゴラスの公式がベクトルにも当てはまることを思い出して、このタイプの問題に幾何学的なアプローチをとりたいです：

この内積空間の 2つのベクトル間の角度の余弦として相関係数を定義するスカラー積を使用します。

スカラー $\cos(angle(x, y))$ したがって、 $-1$ そして $1$ 角度の余弦を測定します $angle(x, y)$ ベクトルの間 $x$ そして $y$。

あなたの質問に答えるために、コサインがゼロのときのように直交性が定義されます（通常のジオメトリの平面空間のように）。