分離可能なフィルターはなぜオペレーターの計算コストを削減するのですか？

画像処理における分離可能なフィルターは、さらに2つの単純なフィルターの積として記述できます。通常、2次元畳み込み演算は2つの1次元フィルターに分離されます。これにより、オペレーターの計算コストが削減されます。

分離可能なフィルターを使用すると、なぜ計算コストが低くなりますか？理解できません。1つではなく2つのフィルタを使用するとパフォーマンスが向上する理由

あなたが持っていると仮定します $N\times M$ サイズの画像。

古典的に使用されているもの、たとえばサイズの正方形フィルターカーネルを使用していることがわかっている場合 $L\times L$、あなたはそれを絵と畳み込む必要があります-それはあなたに与えます $N\times M$ ピクセル、それぞれが必要 $L^2$積和。だからあなたは$A_{2D}=L^2MN$ オペレーション。

今、あなたはそのフィルターをに分解することができるなら $L$サイズの水平およびLサイズの垂直1Dフィルターでは、最初にすべての行を実行できます。 $M$ 行ごとの値、それぞれが必要 $L$ 操作、 $LMN$ すべての行に対して–垂直フィルターを使用して同じことを行うので、 $LNM$ すべての列に対して–そして、あなたは $A_{1D}=2LMN$、そしてあなたはそれを示す必要があるだけです

$$\begin{align} A_{1D} &< A_{2D}\\ \iff\\ 2LMN &< L^2MN &&||:LMN, \text{ legal since $L,M,N >0$}\\ \iff\\ 2 &< L \end{align}$$

ほとんどのフィルターは2より大きいです。