形態勾配の構造化要素の形状

形態学的勾配の計算に使用される構造化要素の推奨形状を理解しようとしています。Pierre Soilleによると：形態学的画像分析：

原点を含む対称構造化要素のみが考慮されます。そうすることで、算術差が常に非負になるようにします。

算術差引用に記載され、現在の離散勾配を計算するために使用される3つの組み合わせを参照しています。

• 膨張と収縮の算術的差異;
• 膨張と元の画像の間の算術的な違い;
• 元の画像とその浸食の間の算術的差異。

しかし、私が思うに、その起源を含むSEを使用することがあり、十分な（それは確実に抗extensivity拡張とのextensivity浸食のを）。この場合、次のことが成立し、3つのケースすべてで非負性が保証されます。

（ iはdのアイデンティティ変換されます）$\varepsilon_B \leq id \leq \delta_B$$id$

対称条件を強制する理由を探しています。直感的に、対称SEを使用することは、非対称SEを使用するよりも優れていることを理解しています（たとえば、対称ピクセルの近傍を調べるなど）。この制約には歴史的な理由があるかもしれないことも私に示唆されました。

ただし、対称SEの望ましいプロパティ（または非対称SEの望ましくないプロパティ）を指す特定の例、引数、または参照が必要です。

平面要素（「構造要素」という言葉で示されます）の場合、原点の包含は、浸食に対する反伸張性、および拡張に対する伸張性のプロパティを維持するのに十分であり、多くのテキストに見られますが、これも指摘しました。したがって、そうです、これは算術差の非負性には十分です（これは矛盾によって直接示されます）。このテキストがピエールの本にある理由は単純なものかもしれません。それは間違いです。このステートメントは、論文のBeucherによって定義された形態勾配に関する他の論文（Rivest、Soille、Beucherによる「Morphological Gradients」、またはSerra、Vincentによる「An Morphological Filteringの概要」など）によってサポートされています。さて、最も一般的な状況は、等方的な方法で勾配を適用することです。

さて、質問の2番目の部分に（等方性は答えを結論付けるのに十分ではないと仮定して）。対称要素を使用するために私が与えることができる最初の理由は、文献に存在する侵食と膨張の複数の定義を扱う負担を取り除くためです。対称要素を検討すると、異なる定義が同じになり、異なる実装間で同じ動作が保証されることがわかります。異方性要素を使用すると、オブジェクトも変換されます。これは、一部の特定のアプリケーションでのみ役立つ場合があります。また、いくつかの構造化要素は、対称である場合に自明に分解され、形態学的演算のより高速な適用を可能にします。

Jaehne、Gonzalez、Soille（あなたが投稿したものMathematical Morphology and Its Applications to Image and Signal Processing）やその他の特別な形態学的論文を調べたところ、構造化要素の設計基準も、対称的である必要がある特別なヒントも見つかりませんでした。

個人的には、対称SEは、変更するオブジェクトに対する同じ対称効果に適していると思います。私の既存の経験では、非対称SEは使用しません。なぜなら、それをオブジェクトやシナリオに使用することはできず、他の場合にどのように反応するのかわからないからです。

それにもかかわらず、それは興味深い質問であり、私は答えを得ようとしています。

非対称の構造化要素は、元のセットまたは画像に平行移動拡張を生成します。変換のサイズは、構造化要素の中心のオフセットによって決まります。たとえば、拡張演算子にmatlabを使用してこれを試すことができます。

I = imread('circles.png');
se = strel('disk',10); %you could see it with se = strel('line',5,180) 
%too but have to make sure that the origin still lies in the se.
se2 = translate(se,[-5,-5]) %offset the center by 5 pixels
figure, imshow(imdilate(I,se))
figure, imshow(imdilate(I,se2))

非対称の構造化要素を使用して異方性を導入するため、これを回避します。しかし、これをエッジ検出のアプリケーションに使用できると思います。