圧縮センシングにおける信号のスパース性の代替の特性化はありますか

圧縮センシング（CS）の最初の前提は、基礎となる信号が何らかのベースでスパースであるということです。たとえば、sには非ゼロのフーリエ係数が最大です $s$ -sparse信号。また、実際の経験では、考慮中の信号がしばしばスパースであることを示しています。

問題は、信号が与えられ、圧縮サンプリングされたビットを受信機に送信し、彼女の能力を最大限に回復させる前に、そのスパース性が何であるか、圧縮の適切な候補であるかどうかを伝える方法があるかどうかですそもそも感知？

あるいは、CSが有用かどうかをすぐに判断できる、スパース性の追加/代替の特性があります。送信者がランダムに選択した一連の測定値を使用して受信者が行うことを正確に実行できることを簡単に確認してから、答えを見つけようとします。しかし、この質問を解決する別の方法はありますか？

私の疑いは、このようなものが研究されたに違いないということですが、良い指針を見つけることができませんでした。

注：この質問は、数週間前にMathoverflowに投稿しましたが、回答がありませんでした。したがって、クロスポスト。

実際、収集デバイスでスパース性または情報コンテンツを推定する方法があります。そうすることの詳細、実用性、および実際の有用性は議論の余地があり、適用されるコンテキストに大きく依存します。画像化の場合、所定の基準で多少圧縮可能な画像の領域を決定することができる。たとえば、Yu et alの「画像信号の顕著性ベースの圧縮サンプリング」を参照してください。この場合、収集デバイスに課せられる追加の複雑さの要件により、わずかな利得が得られます。

取得時の特定の信号での圧縮センシングの有用性に関する判断についての質問に関して：問題の信号が先験的にに、圧縮センシングが可能です。正確な回復は、測定された測定数と、サンプリングされた信号がモデルに付着する度合いとの比率に単純に依存します。それが悪いモデルであれば、相転移を通過することはありません知られている任意の種類のモデルに準拠している場合。適切なモデルであれば、元の信号の正確な再構成を計算できます。さらに、圧縮センシングの測定値は、一般的に将来的に保証されています。現在のモデルを使用して元の信号を正確に回復するのに不十分な数の信号の測定値がある場合、これらの測定値が正確な回復に十分な明日、より良いモデルを考案することが可能です。

追記（編集）： あなたの質問で言及されている獲得アプローチは、適応型圧縮センシングに非常に近いように思えたので、この質問の読者にとっては以下が興味深いと思いました。Arias-Castro、Candes、およびDavenportによる最近の結果は、適応測定戦略が、理論上、非適応（つまり、ブラインド）圧縮センシングに比べて大きなゲインを提供できないことを示しています。私は読者に彼らの仕事、「適応センシングの基本的な限界について」を紹介します。

実用的なアプローチの1つは、選択した辞書を使用して目的の信号をチェックし、いずれかの辞書でスパースであるかどうかを判断することです。特定の辞書でスパースであるかどうかを確認するために、実際にレシーバが行うこと、つまり信号を圧縮および再構築する必要はありません。線形変換を適用し、変換されたベクトルがスパースかどうかを確認できます。もしそうなら、逆変換はあなたの辞書です。スパースとは、ベクトル内の非ゼロまたは無視できない係数の数をカウントすることを意味します。たとえば、信号のDFTを計算します。周波数領域表現がスパース（十分）であることが判明した場合、逆DFTを辞書として使用できます。変換が可逆でない場合、たとえば幅の広いマトリックスの場合、それほど単純ではありませんが、フレームで実行できるはずです。

スパース性の代替案に関して、エンドリスは「シンプルさ」をスパース性以上に一般化するいくつかの試みに言及しています。さらに、次のものもあります。

1. 低ランク：マトリックス補完で使用されます。これは、圧縮センシングの一種のマトリックス一般化です。例として、凸最適化による正確な行列補完、およびCandèset alの新しい論文を参照してください。
2. " k -simpleness"：ベクトルは厳密にはスパースではありません。それらのエントリのほとんどはaまたはbであり、そのうちのいくつか（k）は間にあります。これは、たとえばDonoho＆Tannerの「Presise Undersampling Theorems」（例3）で説明されています。

Miles Lopesによる論文「Estimating Unknown Sparsity in Compressed Sensing」は、いくつかの線形測定で信号のスパース性を推定する問題に対処しています。彼は比率を推定することに注意してください$\|x\|_1^2/\|x\|_2^2$、スパース性の下限です。そして、スパース性の基礎を知っている、または修正する必要があると思います。