エルゴードプロセスの良い例は何ですか？

エルゴード的なプロセスの簡単な例を見つけようとしています。その特性の良い例としてどのようなプロセスが思い浮かびますか？

簡単な調査（Wikipedia、別の回答）では、主に非エルゴード的プロセスの例を示しています。また、私はどの現実世界の現象がエルゴード過程としてモデル化されるのに適しているのだろうか？

私はあなたに一連の数字を与え、それらがランダムに選ばれたとあなたが言うと仮定します。そして、あなたは私があなたを欺こうとしていないことを知っています。番号は：、、、、 、、、、、。$3$$1$$4$$1$$5$$3$$2$$3$$4$$3$

私は今、次のものを予測するか、少なくとも可能な限り近いものにすることを提案します。どの番号を選びますか？

[考える]

[計算]

• ほとんどの読者は、からまでの数字を選択するでしょう。スパンが限られているため。$0$$6$
• おそらく整数。誰がを提案する可能性がありますか（最初の数字を考えても）？$\pi$
• おそらく $2$、$3$、または$4$。たぶん$3$。

基本的に、あなたは私がいくつかの未知のルールで数字を提供したと仮定しています。そして、おそらく、あなたは、与えられた一連の数字が十分に長い場合、私が念頭に置いているルールを十分に理解できると考える（または仮説を立てる）かもしれません。あなたがそうするなら、あなたは私の精神プロセスがエルゴード的であると仮定します：

すべてのシーケンスまたはサイズの大きいサンプルが全体を均等に表すプロセス（統計パラメーターに関して）（Merriam-Webster）

ここでは、私のシリーズがエルゴード的プロセスに従っていることを確認する方法はありません。3432は私のカードのPIN、3は間違い（私は6を意図していましたが、私は不器用です）、はよく使う最初の数字です。次の「番号」はC（16進数）でした。このプロセスがエルゴード的であるとは思わない。各数字は異なる法律から出ています。しかし、正直なところ、私は知りません。たぶん、私はエルゴード性のルールの下で私を駆り立てるいくつかの高次の力の影響を受けます。$\pi$

したがって、エルゴード性は、プロセスのルールにおける一種の「単純性」の仮説です。定常性またはスパース性のように。面を持つ通常のダイをキャストします。通常のコインを投げます。外に何も結果に影響を与えようとしない場合（サイコロを捕まえ、その選択の面を示す目に見えない存在）、あなたはエルゴード的なプロセスを生み出す可能性があります。$6$

無限の数の親指で正確に同じ秒に無限のコインを投げることができるのではなく、毎秒1枚のコインを投げて、最終結果はほぼ同じであると信じています。

ブラウン運動もエルゴード特性を持っています。

ウィキペディアの記事から：

統計的特性をプロセスの単一の十分に長いランダムなサンプルから推定できる場合、確率的プロセスはエルゴード的であると言われます。

つまり、時間アンサンブル統計プロパティは、実現アンサンブル統計プロパティと同じです。

たぶん、一歩を踏み出し、確率論的なプロセスが何であるかについて話し合う必要があります。

嵐の日を想像してください。あなたは家に座って、窓の外を見ます。時折、窓から葉が吹き飛ばされているのが見えます。ホワイトボードマーカーを取得し、ウィンドウに座標系を描画するため、複数のリーフパスを観察して比較できます。

したがって、各パスは、「嵐の日のリーフパス」確率プロセスの1つの実現です。

さて、次のパスの1つを検討することから始めます。優れた空力/物理学者である友人に電話をかけ、2人は家の周りに吹き飛ばされた物体に何が起こっているかの確率モデルを導き出します。結局、休暇の位置は、平均した後、一定の期待値を持っています。$y$$x$

次に、固定の位置を調べますが、数百の葉すべての平均です。注意深い数学的モデリングにより、すべての実現にわたって平均化することによる値の期待値は、に対する単一の実現化を平均化する場合と同じ値をとることがます。y $x$$y$$x$

通常、非エルゴード的な場合を理解することはより困難です（そのため、人々はそのようなプロセスの例をより頻繁に探すのです）。

エルゴードプロセスの例として、プロセスがコインフリップの繰り返しを表すようにします。時間ごとに、または選択できるランダム変数があります。それが公正なコインである場合、2つの可能性は同等であるため、集団平均はです。t X 0 1 $X(t)$$t$$X$$0$$1$$\frac{1}{2}$

今のような多数回のために、この試験を繰り返した場合にと、時間平均計算、その後、その確認でき。したがって、アンサンブル平均は時間平均に等しく、プロセスはエルゴード的です。m = X （1 ）+ X （2 ）+ $N$ m→$m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$$m\to \frac{1}{2}$

質問の2番目の部分については、エルゴシティを使用して問題を簡素化できます。たとえば、アンサンブル平均と時間平均の間では、計算（またはシミュレート）が困難または不可能になる場合があります。しかし、プロセスはエルゴード的（つまり、同一）であることがわかっている（または仮定している）ため、単純なものを計算するだけです。例として、送受信チェーンをシミュレートし、それを数回繰り返し、結果を平均して結果を平均化するモンテカルロ法（通信システムのエラーパフォーマンスのモデリングに使用する方法など）を考えることができます。アンサンブルのプロパティ（エラーの確率など）。