出力シーケンスは、インパルス応答、スケーリングされた信号、およびタイムシフトされた信号のコピーの合計とどのように等しくなりますか？

申し訳ありませんが、これは非常に基本的な質問です。しかし、私はそれがどのように可能であるか理解するのに苦労しています。

インパルス応答が、初期条件が0に設定された入力としてインパルスシーケンスが与えられたときのシステムの出力であることを知っています。

スケーリングは、信号の振幅を増やすことです。つまり、iに入力を2倍すると、出力も2倍になります。

時間シフトされた信号は、入力を遅延させると、出力も同じ係数で遅延します。

これで、シーケンスをインパルス応答、スケーリングされた信号、およびタイムシフトされた信号のコピーの合計に分解する方法の例を使用して、これを説明できますか？

よろしくお願いします。

あなたの質問の1つの解釈は次のようになるでしょう：

システムに次の2つのプロパティがあるとします。

1. スケーリングや均質性プロパティその場合の入力に応答$x(t)$ 出力されます $y(t)$、その後の任意の選択 $\alpha$、スケーリングされた入力に対するシステムの応答 $\alpha\cdot x(t)$ スケーリングされた出力です $\alpha\cdot y(t)$、

2. のすべての選択について、時間不変性のプロパティ$\tau$、時間遅延入力への応答 $x(t-\tau)$ 時間遅れの出力です $y(t-\tau)$、

では、なぜシステムは、入力に対する応答である加法性または重ね合わせ特性を持っているのですか？$x_1(t)+x_2(t)$ です $y_1(t) + y_2(t)$ システムが応答する場所 $x_i(t)$ です $y_i(t)$、 $i = 1,2~$ ???? $~~~~~~~~~~~$ より一般的には、入力に対するシステムの応答はなぜですか $\alpha\cdot x_1(t-\tau_1) + \beta\cdot x_2(t-\tau_2)$ によって与えられた $\alpha\cdot y_1(t-\tau_1) + \beta\cdot y_2(t-\tau_2)~$？

答えは、プロパティ1と2を持つシステムは、必ずしも加法性または重ね合わせプロパティを持たない ということです。重ね合わせ特性も成り立つ場合、システムは線形時不変システムと呼ばれます。ただし、これは、作成（または証明）する必要がある追加の仮定です。

一般的に、均質性と加法はに組み合わされ、直線性入力に対する応答と言う性質$\alpha\cdot x_1(t)+\beta\cdot x_2(t)$ （つまり、入力の線形結合 $x_1(t)$ そして $x_2(t)$）は $\alpha\cdot y_1(t) + \beta\cdot y_2(t)$ （つまり、出力の同じ線形結合$y_1(t)$ そして $y_2(t)$）。

心の奥に隠されるべきいくつかのポイント：

• システムは時間不変でなくても線形であることができます（例えば、変調器） $x(t) \to x(t)\cos(\omega t)$、または線形ではない時不変（例：二乗回路） $x(t) \to [x(t)]^2$

• 出力を生成する加算システム $y(t) + y(t) = 2y(t)$ 入力に応じて $x(t) + x(t) = 2x(t)$したがって 、スケーリングプロパティがあるようですが、実際にはスケーリングプロパティはありません。これへの応答を証明することを試みることによってこれが本当であるとあなた自身を説得してください$0.5x(t)$ です $0.5y(t)$。要するに、スケーリングと加法性は2つの異なるプロパティであり、それらの1つを享受するシステムは必ずしも他を享受するとは限りません。

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質問の2番目の解釈は次のようになります。

線形時不変システムの場合、出力は、インパルス応答のスケーリングされたバージョンと時間遅延されたバージョンの合計であると想定されますが、これがどのように行われるかはわかりません。たとえば、標準の畳み込み結果（離散時間システムの場合）は次のように述べています。

$$y[n] = \sum_m x[m]h[n-m]$$ どこ $h[\cdot]$システムのインパルス（または単位）応答です。ただし、インパルス応答は時間的に逆方向に実行されているため（これは$-m$ の議論で $h$ 上記の式と比較して $x[m]$ 時間が進んでいます。

これは確かに正当な懸念事項ですが、実際には畳み込み式は 、出力がインパルス応答のスケーリングされたバージョンと時間遅延されたバージョンの合計であるという結果を隠すのに非常に成功しています。何が起こっているのですか？

入力信号を分解します $x$合計スケーリング単位パルス信号の。単位パルス信号に対するシステム応答 $\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0, ~0, \cdots$あるインパルス応答またはパルス応答は、

$$h[0], ~h[1], \cdots, ~h[n], \cdots$$ したがって、スケーリングプロパティによって単一の入力値 $x[0]$、または、必要に応じて $$x[0](\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~x[0], ~0, ~0, \cdots$$ 応答を作成します $$x[0]h[0], ~~x[0]h[1], \cdots, ~~x[0]h[n], \cdots$$

同様に、単一の入力値 $x[1]$ または作成する

$$x[1](\cdots, ~0, ~0, ~0, ~1,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~0, ~x[1], ~0, \cdots$$ 応答を作成します $$0, x[1]h[0], ~~x[1]h[1], \cdots, ~~x[1]h[n-1], x[1]h[n] \cdots$$ への応答の遅延に注意してください $x[1]$。この流れをさらに続けることができますが、より表形式に切り替えて、さまざまな出力を適切なタイミングで整列して表示するのが最善です。我々は持っています $$\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l} \text{time} \to & 0 &1 &2 & \cdots & n & n+1 & \cdots \\ \hline x[0] & x[0]h[0] &x[0]h[1] &x[0]h[2] & \cdots &x[0]h[n] & x[0]h[n+1] & \cdots\\ \hline x[1] & 0 & x[1]h[0] &x[1]h[1] & \cdots &x[1]h[n-1] & x[1]h[n] & \cdots\\ \hline x[2] & 0 & 0 &x[2]h[0] & \cdots &x[2]h[n-2] & x[2]h[n-1] & \cdots\\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\ \hline x[m] & 0 &0 & 0 & \cdots & x[m]h[n-m] & x[m]h[n-m+1] & \cdots \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}$$ 上記の配列の行は、正確にスケーリングされ遅延されたインパルス応答のバージョンであり、合計すると応答になります。 $y$ 入力信号へ $x$。 しかし、次のようなより具体的な質問をすると

時の出力は何ですか $n$？

次に、合計することで答えを得ることができます $n$取得する-番目の列

$$y[n] = x[0]h[n] + x[1]h[n-1] + x[2]h[n-2] + \cdots + x[m]h[n-m] + \cdots = \sum_{m=0}^{\infty} x[m]h[n-m],$$ インパルス応答が時間的に後退しているように見えるため、学生の世代を混乱させる最愛の畳み込み式。

離散信号を考える場合、

x [n] = {1,5,3}、n = 0、1、2に3つのインパルスがあり、振幅1、5、3。

今、書くことができます

x [n] = 1 *$\delta[n]$ + 5 *$\delta[n-1]$ + 5 *$\delta[n-2]$

または一般化します

x [n] = $\sum^{\infty}_{-\infty} x[k]\delta(n-k)$

線形時不変システムについては、

与えられた入力に対して、x [n] = $x[m]\delta[n-m]$、h [n]としてのシステム応答、出力 $y_m[n]$ = $x[m]h[n-m]$

したがって、可換性を使用して、

y [n] = $\sum^{\infty}_{-\infty} y_k[n]$ = $\sum^{\infty}_{-\infty} x[k]h[n-k]$